SIC ^R

e/0 / dp =:M.2ir(R-|-i8).

Si R el S décroissent, M ne peut que décroître. Celte expression tend donc vers zéro avec R et 0, et peut être rendue moindre que 6.

207. L'intégrale Z reste également finie et déterminée au point a = b = c = o. On peut, en effet, la décomposer en deux autres Z^ et Z^, prises respectivement dans les régions rfet D. La dernière est finie; quant à la première

r, O \t.zd<s

rf ^'

remploi des coordonnées semipolaires

^ = pcos6, jr=psin6,

permettra de la mettre sous la forme

y. zpdp d^

cos^l/ . , ,. J ^ (p'-i-5*)'

San module sera fini ; car il est au plus égal à

Mm V ^pé/6 <M/ii.2i:R,

DBS PONCTIONS RBPBtSBNTÉES PAR DBS INTÉGRALES DÉFINIES. 209

m désignant le maximum de ^ , lequel sera fini, car le

plan des xy étant tangent à la surface, z est, aux environs de l'origine, du second ordre en x^y^ comme p^.

L'intégrale Z présente toutefois une discontinuité remarquable lorsqu'on traverse la surface. Supposons, en effet, A = o, Ar = 0 et / infiniment petit ; on aura

\ variant d'une manière continue, il suffira de considérer la première intégrale. Elle a pour premier terme

[JLS d^ Ç\ (x 2 p d^ d^

r* O ces

Celte quantité, dont le module est encore moindre que

M/7i.27cR, tend vers zéro avec R, quel que soit /, et, par

suite, ne donne lieu à aucune discontinuité.

Reste l'intégrale

lid<j

Le champ d'intégration étant très petit, la densité u. reslera sensiblement égale à [Xq, valeur de la densité à l'origine; d7 sera sensiblement égal à p dp d^; enfin

pourra être remplacé par ^p^-f-T*, car, z étant de l'ordre de p^ et / très petit, 2 Iz et z^ seront négligeables par rapport à 0^.

On aura donc sensiblement, pour la valeur de l'intégrale cherchée,

J. — II. i4

p variant de zéro à R el 0 de zéro à 2 7r. L'intégration donnera

''^^'WRMW^ S/7^J'

Si / tend vers zéro, le premier terme de ce produit lenJr vers zéro et le second vers — 27:0,0 ou 4- 2it[Xo, suivant que / sera positif ou négatif.

La composante Z de l'attraction variera donc brusquenienl de la quantité — 4'ï^H''0> lorsqu'on traverse la surface alliranle en se déplaçant sur la normale.

Enfin l'on reconnaît sans peine que, sur la surface attirante, X et Y sont indéterminées.