Tant que le point (a, 6, c) reste intérieur à la

sphère, m'est jamais nul. L'intégrale et ses dérivées partielles successives sont donc continues.

2° C'est une fonction harmonique. Posant, en effet, pour

abréger,

el tenant compte des relations

on trouve aisément

àV__ 3(R'— /») i5(R'— /«)(a? — g)' __ ^ i9.a{rr — .v)

et de même pour ^y^> -t-^« Ajoutant ces trois expressions et

réduisant, il vient

da^ db^ de* et, par suite,

d'\ d*\ d''\ Oa* '^ db* '^ ~dà

V I O /dV 6?V (?V\ V ^

3** 11 reste à prouver que cette fonction prend, en chaque point de la surface de la sphère, les valeurs qui lui ont été assignées d'avance, et qui ont été adoptées pour le calcul de l'intégrale.

Il nous suffira, pour cela, de montrer que, si le point A = (a, b, c) tend vers un point Ao = («o> ^oî ^o) de la surface de la sphère où la valeur assignée soit Vo, l'inté-

grale

I on'-

irR O /•'

tend bien vers Va.

2l8 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE III.

Cette intégrale est la somme des deux suivantes :

l.a première représente une fonction harmonique continue ayant la valeur constante Vq, à supposer que cette fonction existe, ce qui est évidemment le cas, car toute constante satisfait à Féquation AV = o.

Donc, la première intégrale a pour valeur Vq. Reste à prouver que la seconde tend vers zéro.

Les valeurs assignées à V sur la sphère variant d'une manière continue, leurs modules ne surpasseront pas un maximum fixe M. Si, d'autre part, nous décrivons autour du point Aq un petit cercle correspondant à un arc trigonométriquc o infiniment petit, dans la calotte d ainsi détachée (ie la sphère, | V — Vo | restera inférieur à une quantité s éi;alemenl infiniment petite.

Dans le reste D de la surface sphérlque, chaque point sera à une distance de Aq au moins égale à 2 sin-j 5, et, si r\ est la distance de A à Aq, r sera au moins égal à 2 sin ~Z — r,. Enfin / sera au moins égal à R — r,, et R^ — /*'*^(2R — 71)7,.

Cela posé, décomposons notre intégrale

-(V-Vo)^^

en deux autres, correspondant aux deux régions d elD. On aura

et, d'autre part,

;;i R'— /* , ,, V , (9.R — 7i)t, », , ds

(V — Vo)^cr< , . ,. \. 2M.4iîR*-

D /' (2sinJ8 — Tf))

Ces deux expressions tendront toutes deux vers zéro, si l'on fait décroître suffisamment d'abord r,, puis 5.

214. Théorème. — Une fonction harmonique V continue dans tout [^espace, et dont le module reste inférieur à une quantité fixe M, est nécessairement une constante.

Appliquons, en effet, la formule (20) pour une sphère y\\\n rayon infini R, à la détermination de V (a, 6, c) et de ^ ((), o, o). On aura

4ttV (0,0,0)- ;^ j§^ V(i«i,

Or, si R tend vers ao, — tend vers i , et 1 V 1 reste <^ M par

Inpolhèse. La fonction à intégrer est donc infiniment petite, et, le champ étant fini, il en est de même de Tlntégrale. Donc

V (rt, h, c) — \ (o, o, o).