CHAPITRE IV
215. Théorème. — Soit ©(^) une fonction de x, qui admette, dans un intervalle donné KR^ (B>A), une intégrale finie et déterminée.
Soit, d'autre part, f{x), une fonction bornée et non croissante {ou non décroissante) dans le même intervalle.
L'intégrale de f{x)^{x)j dans l'intervalle AB, sera finie et déterminée, et l'on aura
f{x)^{x)dx~f(PL-\-o) I o(x)dx-^f(B^o) I ^(x)dx,
Ç désignant une quantité comprise dans l'intervalle AB.
Celte proposition, due à M. Ossiaa Bonnet, est connue sous le nom de second théorème de la moyenne.
Pour rétablir, supposons d'abord A et B finis, et ^(j^) intégrable dans tout le champ; f{x) 'f (^), étant le produit de deux, fonctions intégrables, sera intégrable.
Pour obtenir l'intégrale, nous décomposerons le champ par des points de division x^ = A, X2, . . ., Xn^t = B en éléments infiniment petits AjC|, ..., Ix^; dans l'intérieur de chacun d'eux, nous prendrons arbitrairement un pointez et nous chercherons la limite de la somme
SfiRIBS DE FOURIER. 221
Or soient M/, m/ et 0/ = M/ — m,- le maximum, le minimum et Toscillation de ^{ûc) dans Télément Ao:/; le facteur j(;i)Aj:j sera compris entre M/A;r/ et mi^Xi] il en est de même pour l'intégrale
on aura donc
\ri\ étant au plus égal à Oi-Aar/; et, par suite,
La première somme du second membre peut évidemment se mettre sous la forme
Or les facteurs /(Ç/) — f(Xi-{) sont tous de même signe et ont pour somme /($«) —/(Si).
La somme des termes où ils figurent sera donc de la
forme
;ji étant une quantité comprise entre le plus grand et le plus petit des facteurs
/ ^{x)dx,
et, a fortiori, entre le maximum et le minimum des valeurs que prend l'expression
I t^{x)dœ, lorsque Ç varie de A à B.
Nous aurons donc
Faisons mainlenant décroître indéfiniment les intervalles A.r/. Le premier membre tendra vers l'intégrale
Ç^ tendra vers A, $« vers B, et par suite/(Çi) vers /(A -ho), f{\n) vers/(B — o). Enfin lri/(^i) tendra vers zéro; car son module est au plus égal à LSO/Ajri, L désignant le maximum de |/(^)| dans l'intervalle AB; or, <p(:r) étant inlégrable, SO/A^^- tend vers zéro. Donc [x tendra aussi vers une limite déterminée [jlq, qui sera comprise, elle aussi, entre le maximum et le minimum de l'intégrale
I ^{x)clx.
Mais cette intégrale, étant une fonction continue de Ç, prend toutes les valeurs comprises entre son maximum et son minimum. On peut donc assigner à Ç une valeur telle qu'elle soit égale à jjlq. Donnant à \ cetle valeur, on aura Téquation limite
jf{x)o{x)dx-f{k-\-o)j ^{x)dx
+ [/(B-o)-/(A-+-o)] f o{x)cLv
^-/{\-ho)J\{x)dx-^/{B-o)J o{x)dj:
216. Passons au cas où le champ AB, étant encore fini, contient des points singuliers c, c', ... aux environs desquels o'(^) cesse d'être intégrable. Décomposons encore K* champ en éléments infiniment petits ^Xi , . . . , Ao*/,.
Désignons en général par A^r/ ceux de ces éléments qui ne contiennent pas de point singulier, par Lxk les autres. Dans chacun des éléments A a:/, on peut intégrer la fonction /i.r)'^(x), et si la somme
f{x)^{x)dx
tend vers une limite fixe, ainsi que nous allons le prouver, ce sera la définition de l'intégrale
f(x)^{x) cfx.
\je champ d'intégration D formé par la somme des éléments AjJj se compose évidemment d'une somme d'intervalles «164, «2^2» ••• d'un seul tenant, séparés les uns des autres par des points singuliers. A une autre décomposition de AB en éléments infiniment petits correspond un champ analogue D'et nous devons montrer que la différence
I f{x)^{x)cix— I f{x)t^{x)dx
est infiniment petite. Or soit
D"— D -h cl -=:[)' -h d'
le champ formé par la réunion de D et de D'. Il suTHra de prouver que la différence
e>t infiniment petite; car la même démonstration étant applicable à / — / , / — / sera la différence de deux infini-
ment petits.
217. Le domaine d se compose d'une suite de domaines partiels c/jt respectivement contenus dans les éléments Lxk\
224 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE lY.
chacun de ces derniers, tel que d^^ est lui-même formé par une série de domaines d'un seul tenant, a^i ^am • • • 7 ^jtm p;^/»? séparés les uns des autres par des points singuliers. Appliquant à chacun d'eux le second théorème de la moyenne, il viendra
I f{x)o{x)dx
Soit L le maximum de |/(^)| dans l'intervalle AB. Le module de la somme ci- dessus ne pourra surpasser
L > / ^{x)dûr H- / ^{x)dx\ . ^Lk«h '^Çh IJ
Or chacune des deux parties de cette dernière somme est infiniment petite.
En effet, l'intégrale
cp(j?) dx
étant déterminée, par hypothèse, l'intégrale
X^{jc)dx
ne subira plus que des accroissements infiniment petits si Ton subdivise les éléments A^^ par de nouveaux points de division choisis d'une manière quelconque.
Introduisons tout d'abord comme nouveaux points de division les points extrêmes a^i et jJ^m de chacun des domaines dfc Le champ d'intégration D pourra se trouver accru de quelques éléments^ appelons Dj ce qu'il devient par cette adjonction.
Soient maintenant oLf^p^ftp ceux des intervalles a$ pour lesquelles l'intégrale
cp ( JF ) dx
SÉRIES DE POCRIER.
est positive; OLj^nîkn ceux pour lesquels elle est négative. Si nous ajoutons tous les points ct/fp et Ç^t^ aux points de division précédents, le champ d'intégration D^ se trouvera accru des éléments CLkp^kpj et l'intégrale correspondante se trouvera accrue de
x\.joulons encore les nouveaux points de division a^,, et ^^n ; nous obtiendrons un accroissement négatif,
Ces deux accroissements sont infiniment petits, par hypothèse. 11 en sera de même de leur différence, laquelle est évidemment égale à la somme
dx
étendue à tous les éléments aÇ.
En introduisant comme nouveaux points de division d'abord ceux des points ^ et Ç pour lesquels l'intégrale
^(x) dx
est positive, puis ceux pour lesquels elle est négative, on trouvera de même que
y / <f(x)dx est infiniment petit.
218. Ayant établi, par ce qui précède, que l'intégrale / /{x)^{x)dx=z\im\ I f{x)^{x)dx
est déterminée, il est aisé d'achever la démonstration du théorème.
J. - II. i5
Appliquant, en efiet, à chacune des intégrales partielles le second théorème de la moyenne, la somme du second membre pourra se mettre sous la forme
(i) \\/{Xi-ho) I ^{x)dx-¥f{Xi^^ — o) j ^{x)dx
Cette somme n'est étendue qu'aux éléments Ax/; mais on peut y ajouter, sans altérer sa limite, des termes analogues correspondant aux éléments A^ta; car la somme des modules de ces termes ne pourra surpasser
v^ri r^* r'*"*"' Il
L> / ^{x)dx '\- J ^{x)dx\\y
expression dont les deux termes ont zéro pour limite.
La somme (i) étant maintenant étendue à tous les éléments Aj?, remplaçons chacune des intégrales qui y figurent par la différence de deux intégrales ayant B pour limite supérieure; elle prendra la forme suivante
^Ui^i ^o)-f(xi-o)J
UL étant intermédiaire entre le maximum et le minimum de l'intégrale
/ ^{x)dx,
et la démonstration s'achèvera comme au n° 215.
219. Supposons enfin le champ infini, du côté des x positifs, par exemple. L'intégrale
/ f{x)^{x)dx — \im I /(x)^{x)dx
SÉRIES DE POURIEE. 227
sera déterminée; en effet, si l'on y change B en C, son accroissement pourra être mis sous la forme
Jf f{x)9{x)dx^ /(B4-0)/ ^{x)dx
/(c-o)y' <^{x)dx.
11 est infiniment petit; car les deux intégrales le sont, et /(B -h o) et/*(G — o) ont un module au plus égal à L.
On aura d'ailleurs, en appliquant le second théorème de la moyenne à l'intégrale prise de A à B,
f{x)^{x)dx= /(A + o)/ f{x)dx
/(B-oW <p(j?)rfj7.
On peut ajouter au second membre le terme
[/(«')-/(B-o)]r<p(x)rfx,
dont la limite pour B = oo est nulle. Cela posé, le second membre de l'équation pourra s'écrire
/(A4-0) r ^{x)dx + [/{B-o)-f{PL-ho)]f o(x)d.r
[/(oc) -/(B-o)] r^{x)dx.
La somme des deux derniers termes est le produit de /(oo)— /(A-l-o) par une quantité |jl, intermédiaire entre
et / . Mais, l'intégrale / étant
une fonction continue de sa limite inférieure, on pourra trouver une quantité t^ intermédiaire entre Ç et B, telle que Ton ait
et, par suite,
/{x)<f{a!)dx—/(k-ho)l <s{x)dx
+ [/(«=) -/(A. + o)] r<p(x) dx
220. Les théorèmes que nous établirons dans la suite dr» ce Chapitre sur les fonctions à variation bornée sont d'une nature telle que, s'ils sont vrais pour deux fonctions f\t fi, ils le seront évidemment encore pour leur différence. Nous pouvons donc, tout en les énonçant dans leur généralité, admettre dans les démonstrations que la fonction varie toujours dans le même sens, de manière qu'on puisse lui appliquer le théorème précédent.
221. Théorème. — Soit /{ol) une fonction à variation bornée entre K etJ^,
Soit, d^ autre part, o(a, n) une fonction de a et du paramètre /i, jouissant des deux propriétés suivantes :
1° L* intégrale 1 (f(7.^ n) doL^ ou b est un nombre quel-
conque compris dans rintervalle AB, a son module inférieur à une quantité fixe L, indépendante de b et de n:
2° Si n tend vers 00, cette même intégrale tend uniformément vers une limite fixe G, pour les diverses valeurs de b comprises dans un intervalle quelconque contenu dans AB, mais dont le point A soit exclu.
Pour ces mêmes valeurs de b r intégrale
/(a)Q(a, n)dy.
tendra uniformément vers G f{\ zh o){le signe-]- devant être adopté si B >> A, et le signe — siB <Z \),
Les deux cas se traitent exactement de même. La seule différence qui existe entre eux est que, A + )* désignant un nombre compris entre  et B, on a
Nous pourrons donc nous borner au cas où B > A.
Posons
La nouvelle fonction ^(ol) variera toujours dans le môme sons, et l'on aura
'^{X -f- o) =rO.
Cela posé, on a
/(a) <pûfa=/(AH-o) / <pt/a-h / <};(«) cpe/a.
Si n tend vers oo, le premier terme tend uniformément vers G/(A-|-o). Il suffit donc de montrer que le second tend uniformément vers zéro.
Soit A H- X un nombre arbitraire compris entre A et B; on pourra décomposer Tinlégrale en deux autres
Appliquons à chacune d'elles le théorème de la moyenne; il viendra pour la valeur de l'intégrale cherchée
•y(A-t-o)/ <p^a4-4'(A-t- X — o) I cpd/a
; étant compris entre A et A -h X et Ç, entre A 4- ); et 6.
Le premier terme est nul, et chacun des trois autres tendra uniformément vers zéro, si l'on choisit d'abord \ suf- Gsamment petit, puis n suffisamment grand.
23o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE lY.
En effet, lorsque X tend vers zéro, J^(A-4-X — o) et t]/(A + X4-o) tendent vers zéro, et les intégrales qui les multiplient restent finies; car Pintégrale
