I. — IntégratioD des fonctions rationnelles
I. Soity(j;) une fonction de la variable indépendante .r, iaquelle reste continue dans un certain intervalle AB si .r cM une variable réelle (ou syneclique dans un certain domaine E >i X est une variable complexe).
Nous avons vu (t. I, n®* 82 et 200) qu'il existe dans cet intervalle (ou dans ce domaine) une inlinitc de fonctions adinettanl pour dérivée /(x) ou, ce qui revient au même, pour «liflTérentielle /(x) dx. Ces fonctions diffèrent les unes d(îs autres d\ine quantité constante, qui peut tUre choisie arbiirairement. Nous les avons appelées les intégrales inc/é/inies de /(x) dx et nous sommes convenu de les représenter par la notation f/(x)dx.
L'objet du présent Chapitre est Tétude du problème suivant :
Une fonction f{x) étant donnée^ trouver ses intégrales.
â. Nous avons déterminé dans le Calcul différenliel les dérivées d*un certain nombre de fonctions simples. Nou> sommes par là en mesure d^écrire immédiatement les intégrales de celles-ci ; on aura, par exemple.
)'" ciûc r~ h const. SI m
izi log(ir — a) 4- const.,
X — a dx
- ---- arclangj: 4- const.,
r= arcsin.r -h coiisl..
e'"'dx:=^ -h const.,
. cos/w.r
sinmxax-: — -4- const.,
, sin/n.r
mxdx:= -f- const.,
3. Pour intégrer les différentielles plus compliquées, ou peut employer trois artifices principaux :
I® Décomposition en éléments simples. — On met hi fonction f{x) sous la forme
où C|, Ci, • • • soient des constantes, el/ty/i. . . • des fonctions que l'on sache intégrer. On aura alors
J /{x)dj'z=ci I ft{x) dx -^r CiJ /^{x ) fU -T-. . . .
u" Intégration par parties, — Elle est fondée sur la formule
qui ramène le calcul de Finlégrale de f (^)^'(^) ^ celui de rintëgrale de ^'{x)if{x)^ laquelle est parfois plus aisée à obtenir.
3® Changement de variable. — Si Ton pose
il viendra
/(«'■) =/[?(0], €ixz=zo'(C)dt,
el la différentielle /(x)dx se changera en /[ç(l)]ç'(/)rf/. Sî l'on peut trouver l'intégrale F(^) de celte dernière, il suffira dV substituer pour t sa valeur tirée de l'équation (i) pcKir obtenir l'intégrale de /*(;r)rfj7.
4. Intégration des fonctions rationnelles. — Soit à inléiçrer l'expression
Km /{a:) et ¥{x) sont des polynômes entiers de degré ni et // respeclî veinent.
Soient a, 6, ... les racines de Téquation F(a:) = o; 3t, 3, - . • leurs ordres de multiplicité respectifs; on pourra • r. I, n** 213) meure la fraction donnée sous la forme
Bp
la partie entière Mx'""'''-h- • . se réduisant d'ailleurs à zéro >\ m <C n-
Chacun des termes de l'expression ainsi décomposée esi immédiatement intégrable; et Ton aura
(ûp) m — /i-hi m — /*
-h A,Iog(.r — a)— —
or — o (i — p)(^. ,/
o. Si les racines ei, 6, ... ne sont pas toutes réelles, l'expression précédente de Tintégrale sera compliquée d'iina- »;inaires ; mais il est aisé de les faire disparaître si les coefficients de/(a;) et F(j;) sont réels.
En effet, soit par exemple a=[JLH-v/ une des racines imaginaires. L'équation F(:r) = o admettra la racine conjuguée [X — v« avec le même ordre de multiplicité. Soit b cello racine; on aura ^ = a. Les coefficients A|, .^2, ••• seroiil des quantités complexes telles que p^ + q^ i, p2'\- Ç2h • • • et les coefficients B| , 82^ • . • seront les quantités conjuguées />! — Çi h />2 — ^2'» • • • • Gela posé, on aura
Al \o%{x — flr) ^i (/?, -h 7i0 log(a: — ;a — v 1)
et, càmme x — [x — ve a pour module y (x — jjL)--hv-ei pour argument
