V .r \L TZ

arc lanff i^- arc tani; >

il viendra

Ailog(.r — a)

= ( /?i-h ^lOl Log\^(j: — ;x)--i- v*-h /arc lang - — i-y

Effectuons les multiplications et ajoutons la quantité coujugaée B| log(jc — 6); les termes en / disparaîtront et les

IXTÊGAALKS INDÉFINIES. 5

termes rëels seront doublés: il viendra donc

A, log(.r — rt) -h Bj log( j™ — b)

-=^ Pi Log[{^ — ;x)--^ V-] — 271 arc taiig h

I^ partie transcendante de l'intégrale peut donc se mettre sous forme réelle par l'addition des termes conjugués. Ou arrivera évidemment au même résultat pour la partie rationnelle en ajoutant chaque fraction à sa conjuguée.

6. Ajoutons ensemble les fractions simples rationnelles qui figurent dans l'expression (2); nous obtiendrons, en désignant par r le nombre des racines distinctes a, fr, . . ., un

résultat de la forme rj» où le dénominateur

est de degré a — 1 -h ^ — i 4- . . . = /i — r, et le numérateur M de degfré n — r — i au plus.

D'autre part, la somme des termes logarithmiques

A, logix — a) -hB, 1og(x — 6) -h. . .,

a pour dérivée

JT — a œ — b

(^ désignant le poljnôme de degré /*

ei N un poljnôme de degré r — i au plus.

Si donc nous prenons la dérivée de l'équation (2), il viendi'a

ff désignant un polynôme de degré m — n, qui existera seulement dans le cas où m ^ /i.