VIII. — Maxima et minima

394. Soit/(^) une fonction réelle de la variable réelle x. On dit que /(^) est maximum pour ^ = «, si l'on peut déterminer une quantité s telle qu'on ait

38o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

pour toute valeur réelle de h moindre que £ en \aleur al)solue.

Elle sera minimum, si l'on a toujours

f{a-rh)-f{a)>o

dans ces mêmes conditions.

Si, au point a, f{x) admet une dérivée f {ci) différente de zéro, nous avons vu que, pour h suffisamment petit,

a le signe de hf'[a). Son signe changera donc avec celui de A, et il ne pourra y avoir ni maximum ni minimum.

Pour trouver les maxima et minima de / (^), il faudra donc tout d'abord chercher les valeurs de la variable pour lesquelles /'(^) s'annule ou cesse d'exister. Soit a l'une de ces valeurs. Pour s'assurer si elle donne effectivement un maximum ou un minimum, on calculera la valeur principale de la difïerence f{a-\-h) — ./ (<^); car c'est évidemment de son signe que dépend celui de cette différence pour les petites valeurs de h. Si ce terme principal est constamment négatif, on aura un maximum; s'il est constamment positif, un minimum. Sinon, il n'y aura ni maximum ni minimum.

Si/(^) est développable aux environs du point a par la série de Taylor, la réponse à cette question sera immédiate.

En effet, dans ce cas, /'{a) s'annule nécessairement. D'autres dérivées pourront s'annuler également. Soit /'"(a) la première de celles qui ne s'annulent pas : on aura

/{a 4- h)-f{a) = —^—-/-{a + dh).

La dérivée f^(x) étant supposée continue au point a, f^ [a -\- ^ h) aura pour limite f"(a) quand h tend vers zéro. Donc, pour toutes les valeurs de h suffisamment petites, elle aura le signe de f"(a). D'autre part, h" sera toujours positif si n est pair; au contraire, si n est impair, son signe change avec le signe de h. Donc

Jly a maximum, si n est pair, et /"(a) << o; minimum,

si n est pair, et f^{ct) ;> o. // n^y a ni maximum ni minimum si n est impair.

395. Une fonction réelle /(^, JK, •••) de plusieurs variables réelles x^ r, .. . sera maximum au point <?, 6, ... si l'on peut déterminer une quantité £ telle qu'on ait

/(a H- hy b-h k, . . .) —/{a, b, . . .)<o

pour toutes les valeurs réelles de A, /<:, ... de module <<£; elle sera minimum, si, dans les mêmes conditions, on a constamment

Une première condition pour l'existence d'un maximum ou d'un minimum est qu'au point a, 6, ... chacune des

dérivées partielles -r^j -4--> • • • s'annule ou cesse d'exister. ^ oœ oy

En eftet, si l'on pose en particulier A" =...:= o, la difte-

rence

devra conserver un signe constant, tant que \h\ sera << £• Donc -r^ s'annule ou cesse d'exister au pointa, 6, .... De même pour les autres dérivées partielles.

396. Supposons la fonction f{x^ y, . . .) développable par la série de Tajlor aux environs du point a, ô, .... Ses dérivées premières devront s'y annuler. Admettons qu'il en soit de même pour toutes les dérivées suivantes jusqu'à celles de l'ordre n exclusivement. On aura

, âa ôb

^-^..y/ia + dh.b-^ek,...)

Posons

d'où

L'expression précédente prendra la forme

' nP ^n-^\ P

P« et Pn+i étant des polynômes homogènes en A', k', . . . , de degré /i et ai H- i respectivement.

Les coefficients de P,i+i sont, à des facteurs binomiels près, les valeurs des dérivées d'ordre w + i au point a -j- ÔA, b + 6/:, . . . , lesquelles ont pour limites les valeurs des mêmes dérivées au point a, 6, ... lorsque h, A", ... tendent vers zéro. D'autre part, | /i'|, k'\^ ... ne peuvent surpasser l'unité. On pourra donc assigner un nombre fixe M tel qu'on ait

<Mp"-

dès que A, A", ... seront suffisamment petits.

Quant au premier terme, divers cas seront à distinguer : i*' Le polynôme P,; reste constamment positif, pour tous les systt^mes de valeurs réelles de A', k'^ ... (sauf pour h'=^ k' = ... = o, auquel cas il s'annule). Dans ce cas, pour les systèmes de valeurs de ces variables qui satisfont à la condition

P,i sera positif, et, comme c'est une fonction continue, sa valeur ne pourra s'abaisser au-dessous d'un minimum fixe m. On aura donc

f{a-h h.b^k, ...)-f{a,b, ...)> — ^ Mp'^^K

Cette quantité sera positive dès que p sera devenu moindre

que