I . 2 ... Ai M
Il y aura donc minimum.
2° Si V,i reste constamment négatif, le même raisonnement montre qu'il y a un maximum.
3° Si P,, peut prendre des valeurs positives et des valeurs négatives, il n'y aura ni maximum ni minimum.
Supposons, en effet, que P,, soit égal à H- m, pour le système de valeurs h\^ k\^ ... et égal à — m^ pour un autre système de valeurs A!,, A"!,, .... Soient
Posons
d'où on aura
et
l •■2. . ./l I . 2 . . . /i Xj
/(a + A, 6 + /:, . . .)-/(«, à,...)> j~^^ - Mp»-',
quantité positive pour p infiniment petit.
Au contraire, si l'on déterminait A', A', . . . par les relations
A2 Aq
on aurait
f{a -^h,b + k,...)-f{a.b,...) <- ^ ^ - ^^., -+- Mp«-^S
quantité négative pour p infiniment petit.
Ce cas se présentera nécessairement si n est impair, car
on changera le signe de P„ en changeant celui des variables.
4" Enfin, si P« ne peut pas changer de signe, mais peut s'annuler pour quelque système de valeurs autre que
il y aura doute.
397. La distinction des quatre cas ci-dessus est aisée à faire dans le cas le plus ordinaire, où n = 2. On n'aura qu'à mettre, par un procédé d'Algèbre connu, le polynôme du second degré P2 sous la forme
les X étant des fonctions linéaires distinctes des m variables A', A',....
Supposons d'abord que les coefficients a ne soient pas tous de même signe et qu'on ait, par exemple, a^ > o, a2<< o. Si l'on détermine A', k\ ... de telle sorte qu'on ait
Xj^O, X2=: . . .= X^=: o,
P2 sera positif. Si l'on pose, au contraire,
X2<0, Xj = A3=:, . . = X/=: O,
il sera négatif. Il n'y a donc ni maximum ni minimum.
Supposons, au contraire, que les a soient tous de même signe; P2 aura toujours le signe des a, à moins qu'on n'ait
auquel cas il s'annule.
Si i<i m, on peut satisfaire à ces conditions par une infinité de valeurs de h', k' , .... On sera donc dans le cas douteux.
Si / = m, ces conditions ne seront satisfaites que pour h' z= k' zzzz . . . := o. 11 y aura donc minimum si les a sont positifs, maximum s'ils sont négatifs.
398. Considérons, en particulier, le cas de deux variables. Posant, pour abréger,
ôa''~' ' dadb~ ' Ob'"" '
nous aurons
V^ — Kh'^-^'iBh'k'-^Ck'K
Si A^o, cette expression peut se mettre sous la forme
Donc
Si AG-B2<o
ni maximum ni minimum,
AG-B2=o
doute,
AG-B2>o,
A > 0 minimum,
AG — B2>o,
A < o maximum.
Si A=r: o, on trouve les mêmes caractères. En eflet, soit d'abord B^o, d'où AC — B2<^o. Il n'y aura ni maximum ni minimum, car P2= 2BAVf'+ Qk'^ aura à volonté le signe de k' ou le signe contraire, suivant qu'on prendra h' plus
G k' grand ou plus petit que tt-« Enfin, si B = o, d'où
AC — B-^= o, P2 se réduit à C/:'^ et s'annule pour k' = o, quel que soit h' . Il y a donc doute.
399. La discussion des cas douteux peut se faire d'une manière à peu près complète pour les fonctions de deux variables. En effet, dans ce cas,
est une série de puissances entières de A et de k.
Si cette série contient en facteur une puissance de A, telle
que A^', mettons-la en évidence; nous aurons une expression
de la forme
Soit AA-'^ le terme de degré le moins élevé en k dans
S(Â^, o). Pour h infiniment petit, l'équation S(/:, h) = o donnera, pour A, n racines infiniment petites, dont on pourra calculer les développements suivant les puissances croissantes (entières ou fractionnaires) de h par la méthode des n''^ 361 à 368. Soient K, K', ... ces développements; V, v', ... leurs ordres de multiplicité respectifs. Nous pourrons écrire
h^S{k, h) rrr /i« (A^ - K)^ (A - K')^'. . .W{k, A),
W étant une série de puissances entières, qui, pour h = o, A = o, ne s'annule plus et se réduit évidemment à A.
Pour les valeurs réelles et suffisamment petites de h et de /f , W aura évidemment le signe de A.
Considérons les autres facteurs du produit. Si l'un des développements K est compliqué d'imaginaires, il sera évidemment accompagné du développement conjugué Ki, qui sera du même ordre v de multiplicité. Le produit
sera toujours positif, et ces facteurs n'entreront pas en ligne de compte daus le signe du produit.
La même chose a lieu si K est réel, mais v pair ; car le facteur (A — K)^Mie peut être négatif; la seule nuance est qu'il est susceptible de s'annuler.
De même, si a est pair, h^ ne pourra être négatif.
Si donc il n'existe que des facteurs de l'espèce considérée jusqu'à présent, la différence /(« H- A, b -{- k) — f(a,b) aura toujours le signe de A; tout au plus sera-t-elle susceptible de s'annuler. 11 y aura maximuin ou minimum, suivant que A est négatif ou positif.
Mais si, cette suppression faite, il reste encore des facteurs, il n'y aura ni maximum ni minimum.
En effet, supposons par exemple qu'il nous reste les facteurs
h^{k — Ky{k—K'y\
K et K' étant réels, et a, v, v' impairs.
Faisons tendre A vers zéro plus rapidement que A', de telle sorte que K et K^ soient très petits par rapport à A*; A' — K et k — K' conserveront leur signe si l'on change le signe de A, tandis que h^ changera de signe. Donc la différence f{a + A, 6 H- A") — /(«, b) ne garde pas un signe constant.
Supposons maintenant qu'il ne reste pas de facteur A^, mais seulement les facteurs
Posons A: = K -1- s A^, s étant égal à dz i , et A^ étant d'un ordre plus élevé par rapport à A que la différence K — K'. On aura
{k — Ky{k — }L'y'— £Vi>^^(K — K'+ sJ^y.
Pour A infiniment petit, le signe du dernier facteur sera le même que celui de (K — K')''', quel que soit le signe de e; donc le produit changera de signe avec e et il n'y aura ni maximum ni minimum.
400. Nous aurons d'après cela, pour décider de l'existence d'un maximum ou d'un minimum, à effectuer les opérations suivantes :
Nous déterminerons d'abord le facteur h^ commun à tous les termes de f{a + A, b -{- k) — /(«, b). Si a est impair, il n'j a ni maximum ni minimum.
Si a est pair ou nul, nous chercherons le premier terme MAî^' de chacun des développements K, K', Nous obtiendrons, par la méthode du n° 362, un certain nombre de valeurs de {jl, et, pour chacune d'elles, une équation
qui déterminera les M correspondants.
Nous chercherons les racines réelles de cette équation (les racines imaginaires peuvent être écartées, car les développements qui s'en déduisent n'influent pas sur le signe du produit).
Si l'une de ces racines est d'un ordre de multiplicité impair n^^ il n'y a ni maximum ni minimum; car, parmi les développements en nombre n^ cjui s'en déduisent, ceux qui sont imaginaires, étant conjugués deux à deux, sont en nombre pair; il reste donc un nombre impair de développements réels égaux ou inégaux; l'un au moins d'entre eux sera donc d'un ordre de multiplicité impair.
Si A^^ est pair, il faudra calculer le second terme M, ^^» des n^ développements qui ont pour premier terme M/i!^. Dans les équations qui déterminent les valeurs de M,, on négligera encore les racines imaginaires, et, s'il existe une racine réelle d'ordre impair, on affirmera (|u'il n'y a ni maximum ni minimum.
Si l'on arrive à n'avoir plus cjue des équations privées de racines réelles, il y aura maximum ou minimum.
On arrivera ainsi à trancher la question :
1° S'il existe des développements réels d'ordre de multiplicité impair;
2° S'il n'existe pas de développement réel d'ordre de multiplicité pair, et dont le nombre des termes soit illimité.
Mais, si aucune de ces deux conditions n'est satisfaite, on ne pourra jamais arriver à la certitude. En effet, on pourra, en poussant assez loin les calculs, éliminer les développements imaginaires, et ceux des développements réels d'ordre de multiplicité pair qui s'arrêteraient d'eux-mêmes après un nombre limité de termes; mais les autres resteront toujours, sans qu'on puisse assurer que la prolongation des opérations ne permettrait pas de les dédoubler.
401. Maxinia et miniina relatifs. — Soit à trouver les niaxima et minima d'une fonction /(^, y-, z, a), les variables étant liées par deux relations
Imaginons qu'on ait tiré de ces relations les valeurs de s.
u en x^ /, pour les substituer dans/; il viendra
et, pour qu'il y ait maximum ou minimum, il faudra que dV d¥ dx oy
et ^:- soient nulles ou cessent d exister
D .,, dF d¥
Bornons-nous encore au cas oui on aura -r— = 0, -7- = 0,
âx oy
ou plus simplement d¥ = o. On a
(3) dF = ^dx-^ ^l.dy-\-^dz-\-'^du-o, ^ ' dx ây ^ âz du
et cette équation devra être identiquement satisfaite pour toute valeur de dx et de dy après qu'on y aura remplacé dz et du par leurs valeurs tirées des équations
ÔQ j do j d(D j do j
(4) -rr-dx -\- ^dv -\- ^ciz -i- ^du =.0, ^^^ dx dy ^ dz du
( 5 ) -T^dx-\- ^dy + ^dz + -j^du — o,
^ ' dx dy ^ dz du
qu'on obtient en difFérentiant les équations cp = o, tj; = o. 11 faudra donc éliminer dz^ du entre ces équations (3), (4)>
(5) et égaler à zéro les coefficients de dx et de dy dans l'équation résultante.
Pour effectuer cette élimination, multiplions les équations (4) et (5) par des facteurs indéterminés X, {jl, puis ajoutons-les à l'équation (3) ; il viendra
dx
.do d^\ , (df ^dc? dd>\.
df , d(? dd>\ . [df , do d^\ ,
dz dz ^ dz J \du du ^ du]
et l'élimination sera effectuée si nous déterminons X et a de telle sorte qu'on ait
ia\ ^f -. ào ^J> df ^ do d'I'
dz dz ' dz du du * du
SgO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
Egalant alors à zéro les coefficients de dx et de dy^ nous aurons
Les équations (6) et (7), jointes aux équations (i) et (2), détermineront les six quantités x^ y^ z^ u, X, ^.
On remarquera que les équations (6) et (7) s'obtiendraient immédiatement en égalant à zéro les dérivées partielles de la fonction
402. Soit à déterminer la plus grande (ou la plus petite) valeur que prend la fonction f{x) lorsque x varie de Xq k x^. Cette valeur peut correspondre à l'une des limites ou à un point intermédiaire a. Dans ce dernier cas, il est clair que f{a) sera un maximum (un minimum) de la fonction /(^).
Pour résoudre la question, il faudra donc calculer les maxima (ou minima) /(a), /(6), ... de la fonction dans l'intervalle de x^k x^^ ainsi que ses valeurs extrêmes /(xq)^ f[xx)^ et prendre la plus grande (ou la plus petite) de ces quantités.
On agirait d'une manière analogue pour déterminer la plus grande ou la plus petite valeur d'une fonction de plusieurs quantités lorsque le champ de leurs variations est assujetti à certaines limitations.
403. Appliquons les méthodes précédentes à quelques problèmes.
Problème I. — Trouver la plus courte distance d'un point P à une droite D.
Soient a, a,, 7.2 les coordonnées du point; «, a,, a^ celles d'un point fixe pris arbitrairement sur la droite; b^ b^, b^ ses cosinus directeurs, c'est-à-dire les cosinus des angles qu'elle fat avec les axes. Les coordonnées x^ y, z d'un point situé
sur la droite à la distance t du point a^ a<, «2 seront évidemment
œ^:ia-\- bt, y:= ai-\- bit, z-=:i a^-\- b^t,
et sa distance 8 au point P sera donnée par la formule
Ô2= (a -h ô^ — a)2+ («1+ ^1 ^ — a,Y^{a^-^r b^t — a^Y =zl{a-hbt — a)\
Il s'agit de déterminer la distance variable l, de telle sorte que cette expression soit minimum.
Elle a pour dérivée ll2b(a-i- bt — a), quantité toujours continue. Il faut donc égaler cette dérivée à zéro, ce qui
donnera
lb{a -a)^lbH = o, d'où
Ibia — a)
Substituons cette valeur dans l'expression
d^=l{a-^bt — ay—l{a — ay-i-2tlb{a—oc)-ht^lb^;
il viendra
2(« .. A^b(a-a)Y [lb{a-a)y Z{a — a) —2 ^^ 1 j^^
l{a — oiyib^—[lb{a — a)Y
Ib- [{a~(x)bi—{ai—cx.i)bY^[{ai — ai)b2—{a2—o(..2)biY-\-[{a^—a2)b — (a— a) 62]-
b^TTfTJl
Cette expression représente bien un minimum, car la dérivée seconde
est positive.
404. Problème II. — Trouver la plus courte distance de deux droites.
Soient
(8) ûo zz^a -h bt, y=zai-\- bit^ z=.a^-\- b^^t
les coordonnées d'un point de la première droite,
(9) | = a4-(3T, y) = ai + |3iT, Ç = a2+[32T
celles d'un point de la seconde droite.
La distance 8 de ces points sera donnée par la formule
— {a — o:-\-bt — 3t)2 ^ [a^— a^-\- b^t — (Sit)^
Il s'agit de déterminer les variables ^ et t de telle sorte que cette expression soit minimum.
Les dérivées partielles de cette expression par rapport à t et à T sont toujours continues. En les égalant à zéro, on aura les deux équations de condition
- -T- :=zb{a — OL-^ bt — ^x)-\- b^{ai — of.^-\- b^t — i^^^z)
-\- b^{a^ — oi.^-\- b^t—i^^T) =0,
— - — = (3(a — a+è^— (3t)h-(3i(<2, — ai4-^i^— 6iT)
Eliminant successivement entre ces équations chacune des quantités entre parenthèses, et posant, pour abréger,
6,(32- 62^1 = A, ^.2(3-6(32=A„ 6i3,-M3=:A2, on en déduit
a — a-\-bt — (3r a, — «i-l-è,^— (3,t «2 — oL^^-vb^t — ^^z
A Al A2
Soit X la valeur commune de ces rapports; on aura, pour déterminer ^, t et X, les trois équations linéaires
kX H- [3t — bt =: a — a, AiÀ-H(3iT — b^t^zia^ — ai,
K{h. + (SgT — b-^t r— a^ — a2,
d'où l'on déduit
L, M, N, D désignant les déterminants suivants : a — a (3 — b
ai
ai
--A2+Af
+ At
Enfin, l'on a
v/ÂJ+ÂT+Â|
Il est évident, d'après la nature du problème, que cette valeur de 8^ est un minimum. Pour le vérifier, formons les dérivées secondes
2 dt^
b'-hbl-i-bl,
La quantité représentée dans la théorie générale par AG — B- est égale à
[^(b'+bi + bl)(?,'-+l^\ + (3=) - k(bp + b,?„+b,^,Y = 4(A^ + A| + A«).
