CHAPITRE III
Elle est positive. Donc, il y a bien maximum ou minimum. D'ailleurs
ce sera donc un minimum.
405. Remarque 1. — Les quantités 6, Z^,, ^2 et p, p,, p2? étant les cosinus directeurs des deux droites données, satisferont aux équations
Mais nous n'avons pas fait usage de ces équations. Les formules trouvées subsisteraient donc en donnant à 6, b^, 637 p, p,, p2 des valeurs quelconques. D'ailleurs, les éc|Liations (8) et (9), pouvant se mettre sous la forme
P ~ Pi ~ P2 ~^'
ne cesseraient pas de représenter des lignes droites.
Remarque II. — Si nous posons
a = a-i-A«j, «1 = rt, H- A«,,
les formules précédentes deviendront
kz=zb,ùib^—b.,ùib,, A^-^b^^b—b^b,, k^ = bùib,— b,£ib,
Aa A^ b
— ( A Aa -f- A 1 A^i -h A2 A^a ) =
Afl'2 ^^2 ^2
Al A^i />i
Al
^i-hA^i — Arii
Ag Aûf2 ^2
DrrrA--f-A?4-A2,
et l'on aura encore
Nous ferons un fréquent emploi de ces formules.
406. Problème III. — Tromper la plus courte distance d^ un point à un plan.
Soient a, 6, c les coordonnées du point et (lo) jnx -^- ny -\- pz -\- q :=zo
l'équation du plan. Nous aurons à rendre minimum l'expression
où x^ y, z sont liés par l'équation précédente. D'après la règle générale donnée pour la recherche des minima relatifs, nous aurons à égaler à zéro les dérivées partielles de l'expression
{œ — a)- -^ {y — b)- -]- {z — cy-\-'}.{mx -\- ny -\- pz -\- q), ce qui donnera les équations
2{x — a)H->vm = o,
i{y — è) -i->iAi = 0, i{z — c) -^Ip —.0,
auxquelles on joindra la suivante :
0 = mx -\- ny -hpz -\- q z=z m{x — a) -h n{y — b) -i- p{z — c) -h ma -]- nb -\- pc -\- q.
On en déduit
X — «= — \^rn^ y — b^ — |^/^ ^ — c == — \^pi
. ^ ma -f- nb -^ pc ^ q
SgÔ PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.
Pour vérifier que cette expression représente bien un minimum, cherchons les dérivées secondes de ô^ considéré comme fonction des variables indépendantes x^ y^ et d'une fonction z de ces variables, définie par l'équation (lo). On aura successivement
— - r=i2{œ — a) -\- i(z — c)^— :=z'2iœ— a) iz — c),
ox ox p
■2 m âz p dx
2 m dz P ày~
2mn
dx ây ~
On trouvera de même
dy' "
Les expressions désignées dans la théorie générale par AC — B^ et A seront ici
( 2ïi^\ [\m}ii^
et
Toutes deux étant positives, on aura un minimum.
407. Problème IV. — Trouver les maxima et minima f de la fraction -,
■ /= «ii^^-h «22/^+ «33^^-}- 2a^iXy H- 2^23/:^ -h 2^13^^ et
9 = aiix'-{- cc^^y'^-h a33^2-f- 2^12^/ + 2a23/-:î + 20Cx3ZX étant deux fonctions homogènes du second degré en x^
J^ valeur de cette fraction ne dépendant que des rapports
des variables x^ y^ s, il est permis de supposer leurs valeurs absolues choisies de telle sorte qu'on ait cp = i .
On aura donc à trouver les maxima et minima de /, étant donnée l'équation de condition
On devra, comme on sait, déterminer x^y. z, \ par les
équations
^ ' dx dx ây dy ôz âz ^
ou, en eflectuant les calculs,
( (cri3+>.ai3)^-f- («23-1- ^«23)/ 4- (a33 4->.a33)^=:o.
Or l'équation o = i montre que x^ y, z ne peuvent être nuls à la fois. Donc le déterminant des équations (12) doit être nvd, ce qui donnera une équation du troisième degré en \.
Soit À une des racines de cette équation; en la substituant dans les équations (12), elles se réduiront à deux équations distinctes, qui fourniront les rapports de x^ y, z. L'équation cp = I achèvera de déterminer ces quantités.
La valeur correspondante de — sera — \. En effet, / et cp
étant des fonctions homogènes du second degré, on aura
àf àf df
""ic-^^dy-^^^iz-'f^ 0(9 d(û d(û
âa^ <^y àz ^
Les équations (i i), respectivement multipliées par x, y^ z el ajoutées ensemble, donneront donc
2/4-29X — G, d'où ^=1 — 1.
Avant d'aller plus loin, nous remarquerons que la fonction cp peut se mettre sous la forme
^4-— J + — ^ -4-9,, cpi étant une fonction de y et de z, telle que
On pourra de même mettre (D^ sous la forme
^"htï^^
La fonction cp sera ainsi décomposée en une somme de trois carrés, respectivement multipliés par a^, ^n , y.
Nous supposerons, dans ce qui va suivre, que ces trois coefficients sont positifs. Il est clair que cette condition est nécessaire et suffisante pour que o prenne une valeur positive et différente de zéro pour tout système de valeurs de x^ y^ z autre que o, o, o. Cette condition étant remplie, les valeurs de x^ y, z pour lesquelles on a cp = i auront nécessairement un module borné; car il faudra que chacun des trois termes positifs dont cp se compose, pris isolément, soit ^i. Les valeurs de f correspondant à ces divers systèmes de valeurs de x^ y^ z seront donc bornées, et, par suite, f présentera nécessairement au moins un maximum et un minimum réels, correspondant à des valeurs réelles des variables. Soient Xn^ jK(, z^ les valeurs qui correspondent au maximum, par exemple; X, la valeur correspondante de \. Posons
^ m ^,? -h myj -h /iCj
/=ji^4-miY) H-/i,C,
z — z ^\-\- m^f\ -^ tH"^,
^, Tj, Ç étant de nouvelles variables, et m, /?, m,, n,, in^^ n^ des quantités quelconques telles que le déterminant de la substitution ne soit pas nul. Aux valeurs x^=-Xy^ y^=zy^^
z = Zi, qui donnent le maximum, correspondront les valeurs ^ = 1, 7j = o, ^ = 0. D'ailleurs, après la transformation, f et cp deviendront des fonctions des nouvelles coordonnées, homogènes et du second degré, comme auparavant.
La transformation une fois exécutée, appelons ce, y, z nos nouvelles variables primitivement désignées par ^,7), Ç. Appelons également a^ ..., a,,, ... les coefficients des fonctions/
et o rapportés à ces nouvelles variables; - sera maximum
et cp égal à l'unité pour ^ r=z i , j^ = o, ^ = o, ). = X< . On aura, par suite, a, , = i , et, les équations (12) étant satisfaites pour le maximum, on aura, d'autre part,
(l3) <2ii4-Ai=0, ^12+ ^1(5^12^= O, «X3+ ^l'^13= O-
Posant maintenant, pour abréger, on aura
9=rX2-H(pi,
cpi et f{ étant des fonctions dey, z, dont la première sera positive pour tout système de valeurs de jk, ^ autre que y — o, z = o.
Opérant maintenant sur les fonctions cp,, f^ de la même manière que nous l'avons fait sur cp et/*, nous pourrons les mettre sous la forme
^2 et f^ ne contenant plus que 5, et par suite étant respectivement de la forme p5-, vs-.
Posant
on aura
92= zs /2=-:^3Zs
et, par suite,
d'où ce théorème :
Etant donné un système de deux fonctions quadratiques f et cp dont V une est toujours positive, on pourra, par un changement de variables réel, en faire disparaître les rectangles des variables.
Les deux fonctions étant ainsi préparées, l'équation en \ deviendra
Xi + X G o
Cette équation a pour racines les trois quantités réelles \^ ,
Xo, A3. Donc, l'équation en \ a toujours ses racines réelles.
On voit immédiatement sur les équations (i4) que la plus
grande de ces racines rendra - minimum, la plus petite le
rendra maximum, la troisième ne donnera ni maximum ni minimum .
408. Problème V. — Déterminer un point M = (.r,y) tel que la somme de ses distances p<, po, pa à trois points fixes A, =z (a,, èj), A2= («2? ^2)7 Ag^ (^s, ^3) soit minimum.
La somme des trois distances est
Ses dérivées partielles sont
"^^ X — ai v^
2^— =2,'=os«,,
y — bj ai désignant l'angle de la droite A/M avec l'axe des x.
SÉRIES. 4oi
Au point M elles doivent être nulles ou cesser d'exister. Supposons-les d'abord nulles. On aura les deux équations
cos «1 -t- cos «2 + cos ^3 = o, sin «1 -h sin a, + sin ag = G.
Multiplions la première par sina2, la seconde par cosa2, et retranchons; il vient
sln(ai — ao) — sin(a2 — ocs)^=o,
On trouve de même
«2 — c(3= a-i — ocp Les angles mutuels des droites A, M, A2M, A3M seront
des côtés A, Ao, A2A3, A3 A, un segment capable de —»
Si l'un des angles du triangle A, A2A3 est ^-t"' ^es arcs
de cercle dont l'intersection devrait donner le point M ne se coupent pas.
11 doit pourtant j avoir un minimum. Mais il ne pourra se présenter qu'en un point où les dérivées partielles cessent d'exister, c'est-à-dire en l'un des points A,, A2, A3.
11 est aisé de vérifier qu'il a lieu au point A,, sommet de
l'angle obtus.
Fig. 8.
donc de -tt-? et le point M s'obtiendra en décrivant sur chacun
Soit en eifet M un autre point. Montrons que
A1A2+ AiA3< iMAi-^ MA2H-MA3.
On a
Al A2-I- A, Agtrz MAg cos/jL + MA3 cosvH- MAi(cos>. + cos).').
Or cos [Ji, cosv sont ^ i et
cos A + cos A' = 2 cos cos ^ 2 cos << r ,
car, étant compris entre :j et — ? son cosinus est moindre
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. /joS
