CHAPITRE IV
s'obtiennent par les diverses déterminations d'un même radical.
En posant (X — xy'=t, l'ensemble des branches d'un même cycle pourra être représenté par le système des deux
Y —y -z at''-\- aQt''o-\- . . .^
-OÙ r, /'o sont des entiers croissants sans diviseur commun.
Si les coefficients a, «o' • •• sont réels, le cycle admettra des points réels aux environs de l'origine. Pour discuter la forme de cette portion de courbe, il est permis d'admettre qu'on ait pris la tangente pour axe des a.\ auquel cas x = o, y^—o, a = o, et qu'on ait déterminé le sens desjK de telle sorte que «o soit positif.
i" Si /" est impair, /q pair, Y est toujours positif, et X a le signe de t. La courbe a donc la forme de la figure 9.
" Si r et /'o sont impairs, X et Y ont le signe de t; et la
Fig. 10.
courbe présente l'inflexion représentée dans la figure 10.
3" Si /• est pair, Fq impair, X est positif, Y change de signe avec ^; on a un rebroussement de première espèce {Jig- 1 1).
Fig. II.
4° Si r et To sont pairs, X et Y sont toujours positifs : on a un rebroussement de deuxième espèce {fig- 12).
411. Supposons maintenant la courbe définie par deux équations
Soit /o la valeur de t pour laquelle on a X = ^, Y=zy, e admettons qu'aux environs de cette valeur les fonctions f et cp soient développables par la série de Tajlor. On aura aux environs de ce point, en posant, pour abréger, y (^0) = -^'5
4o8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
Coupons la courbe par une droite
infiniment voisine du point {x, y\
Les t des points d'intersection seront donnés par l'équation
{x'oL -Hy'(3) (^ - t,) + {x"a -\- y" P)^lLzJi^ +...=: a.
Cette équation en t — Iq n'a, en général, qu'une racine infiniment petite si x' ei y' ne sont pas nuls à la fois. Le point (x^y) sera donc simple. Mais on aura une seconde racine infiniment petite si l'on a
auquel cas la sécante sera parallèle à la droite
Telle est donc l'équation de la tangente.
Supposons, au contraire, que x' ^ y' s'annulent à la fois, ainsi que x" ^ y" ^ . . ., .r^''~*^, JK^"~'^ mais que x^"^ et r^"^ ne soient pas nuls tous deux. L'équation en ^ — Lq aura n racines infiniment petites; le point (^, y) sera donc multiple d'ordre n (pourvu qu'à ces n valeurs de / — t^ correspondent autant de systèmes de valeurs différentes pour X — x^ Y — y). Le nombre des racines infiniment petites deviendra d'ailleurs ^ n, si l'on a
On a donc, ici encore, une tangente ayant pour équation
Ces résultats supposent, comme on vient de le voir, que deux valeurs différentes de /, assez voisines de ^o? correspondent toujours à des points (.r, y) différents, ce que nous
exprimerons d'une manière abrégée en disant que t correspond uniformément aux points du cycle. On peut toujours reconnaître si cette condition est satisfaite, et, si elle ne l'est pas, faire en sorte qu'elle le devienne, par un changement de paramètre.
Soit, en efl'et, en ne conservant dans l'écriture c|ue les termes dont le coefficient n'est pas nul,
y^yinA l::iI^^,,n, (^'-^0)"^
ni ■' n^l
Supposons, pour fixer les idées, m^n^ et posons
il étant un nouveau paramètre. On sait qu'il existe 7n développements suivant les puissances entières de u^ qui, mis à la place de ^ — Iq^ satisfont identiquement à cette équation. Soit
( I ) t—tQ—lU-{-...
l'un d'eux. Substituant cette valeur dans les expressions de X, Y, elles prendront la forme plus simple
X — œ =z u"\ Y — y ■=■ cu'^ -h c' W^' H- . . . .
Soit 8 le plus grand commun diviseur des exposants m = 8/', n = §5, Ai^= 3^', .... Posant w^ = r, il viendra
X — x-=zv^\ Y — r = cV' -t- c' v^' -h . . . .
Ces deux équations représentent un cycle de r branches, et, comme /% 5, 5', ... n'ont pas de facteur commun, deux valeurs infiniment petites de v^ distinctes entre elles, ne pourront répondre à un même point. En effet, v désignant l'une d'elles, l'autre devrait être égale à Gi^', 9 étant une racine r'^'"*" de l'unité, pour cjue X eût la même valeur. Pour
4lO PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE IV.
que Y eût également la même valeur, on devrait avoir
Ci^^' -1- cV*' -H . . . = c 0*V^ -H c' 9^' {>^'-i- . . . ou
Or, les exposants /*, 5, s', ... n'ayant pas de facteur commun, quelle que soit la racine choisie pour 9, la série S du premier membre ne sera pas identiquement nulle et l'on pourra assigner un nombre fixe L tel que, si o << |(^|<<L, S soit différent de zéro.
Si S est égal à l'unité, u correspondra uniformément aux points du cycle ; et il en sera de même pour ^, car la relation (i) fait correspondre à chaque valeur de u une seule valeur de t, et réciproquement.
412. Dans ce qui précède, nous avons appelé t^ la valeur de t pour laquelle on a X = ^, Y =:jk. 11 peut évidemment exister plusieurs valeurs ^o^ ^m ••• de ce paramètre qui satisfassent à cette condition. Chacune d'elles donnera naissance à un cycle, suivant l'analyse précédente, et l'ordre total de multiplicité du point (^, r) sera la somme des ordres de multiplicité partiels ainsi calculés.
413. Soient F(X, Y, Z) = o l'équation d'une surface ; (,r,jK, z) un de ses points, aux environs duquel F soit développable par la série de Taylor
^F âF âF
Coupons par une droite
X — x = at-\- h, Y — / = [3^4-A-, Z — x; = y^4-/ de direction fixe, et infiniment voisine du point {x^y^ z'
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOU. !^\l
Les points d'intersection seront donnés par l'équation
H étant infiniment petit.
^1 ^— , -;- , ^r— ne sont pas nuls a la lois, on n aura, en ereneôjo ây dz ^ ' ' o
rai, qu'une racine infiniment petite. Le point [x, y^ z) sera
simple.
On aura toutefois deux racines infiniment petites, si
oœ ÔY ^ dz '
c'est-à-dire si la sécante est parallèle 3iu plan tangent
Si l'axe des Z, par exemple, n'est pas parallèle au plan
dF tangent, on aura __ > o, et Z — z sera, aux environs du point
(^,jK, z)^ une fonction sjnectique de X — x,Y — y.
e . d¥ dF d¥ , . ,.,
supposons maintenant que -r— > — ■> -r— s annulent, et qu il
en soit de même des dérivées jusqu'à l'ordre n exclusivement. L'équation en t se réduira à
et admettra, en général, n racines infiniment petites. Le point {x, y^ z) sera multiple d'ordre n. Le nombre des racines infiniment petites sera augmenté si
d"F âx"
autrement dit si la sécante est parallèle à une génératrice du
cane tangent
-, — (X — xy-h. . . = 0.
4l2 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
414. Si, par le point (:3?, 7, z), nous faisons passer un plan arbitraire
il est évident que l'intersection C du plan avec la surface aura en (x, jk, -s) un point multiple, dont les tangentes seront les génératrices suivant lesquelles le plan coupe le cône tangent.
Si toutefois P entre en facteur dans l'écjuation du cône tangent, l'ordre de multiplicité du point {.v,y,z) sur la courbe G se trouvera accru.
En particulier, le plan tangent en un point ordinaire coupe la surface suivant une courbe sur laquelle ce point sera multiple.
Si l'on coupe le cône tangent par un plan arbitraire ne passant plus par son sommet, on obtiendra une section plane algébrique et de degré n. Cette courbe peut présenter des points singuliers, ou se décomposer en courbes de degré moindre. Toutes ces circonstances devront être notées comme entrant dans la définition de la singularité.
Une surface peut présenter, non seulement des points singuliers isolés, mais des lignes singulières dont tous les points sont singuliers. Considérons, par exemple, un cône dont la base ait un point double. La génératrice correspondante sera une ligne double, en chaque point de laquelle on a un cône tangent, dégénérant en un système de deux plans.
415. Une surface est souvent représentée par un système de trois équations
^, u étant deux paramètres dont l'élimination donnerait l'équation de la surface sous la forme ordinaire
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. l^l'd
Soit ^0 5 ^^0 un système de valeurs des paramètres pour lequel on ait X = ^, Y =yj Z = 5. La formule de Taylor étant supposée applicable, on aura, en posant, pour abréger,
àto ''du,
I X — a:^=zai{t— to) ■+- hi{u — «0 ) + ■ • ■ .
( Z — z = as{t — to) ^ b^iii — Uq) -^
Si l'un des déterminants {a^b^2 — ci-ib\)-, (<^2^3 — b-^a^)^ (a^bi — ciibs) est différent de zéro, (^,JK, z) sera un point simple (pourvu toutefois que ^0^ '^o soit le seul système de valeurs des paramètres qui donne ce point). En effet, si ai b) — ci-2b{, par exemple, n'est pas nul, les deux premières équations (2) permettront de déterminer t — ^q, u — Uq en fonction synectique de X — x^ Y — y. Ces valeurs, substituées dans la dernière équation, donneront une expression analogue pour Z — z.
Réciproquement, si (^, y, z) est un point simple, on pourrai mettre l'équation de la surface aux environs de ce point sous la forme
Z — z-=a{X — x)-h b{\ — y)-^c{X—xy--^. . . ,
équivalente au système des trois équations
X — ^ = ^, Y — y z=: u, Z — z =1 at ^ bu -\- ct^ -^- . . . ,
où le déterminant a, b-j. — a^b^ a pour valeur l'unité.
Lorsc|ue nous voudrons étudier une surface aux environs d'un point simple, nous pourrons donc toujours admettre que l'un au moins des déterminants a< 62 — «2 ^t ' • • • est ^ o.
416. Une courbe gauche, définie comme trajectoire d'un point mobile, sera représentée par un système de trois équations
X=:/(0, Yz=:9(0, Zz.:.'^(0.
4' 4 PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE lY.
Un point {oc^y^ z) de la courbe sera de l'ordre pi de multiplicité, si un plan de direction fixe
infiniment voisin de {x^y^z)^ coupe la courbe en |ji points infiniment voisins de ce point.
Soit Iq la valeur de t correspondant à (^,jr, z). Les fonctions /, cp, ^ étant supposées développables par la série de Taylor, on aura, en posant, pour abréger, f'(to) :=x'^
^ -y = y'{t-io)-hy"
Substituant ces valeurs dans l'équation du plan, nous aurons, pour déterminer les t des points d'intersection, l'équation
ioca:'^^y'-hyz'){t~-t,)-h{aœ"-i-^r"-^yz")^^~^'^' +...= A.
Si x', y' ^ z' ne sont pas nuls à la fois, cette équation en t — Iq n'aura, en général, qu'une racine infiniment petite : le point est simple.
Mais on aura plusieurs racines infiniment petites dans le cas
où l'on aurait
a^-'-f- (3/'+ yz' — o,
c'est-à-dire si le plan sécant est parallèle à la tangente
Si y, y, z', ..., x^"-^\y^"-^\ z^"-^'> s'annulent à la fois, sans qu'il en soit de même \)Oi\y x^'^\ y^"\ z^'^\ on aura n valeurs infiniment petites de t^ et ce nombre sera accru si le plan sécant est parallèle à la tangente
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. l\ï^
Donc (^, JK7 ^) sera multiple d'ordre n, si à chaque valeur de i voisine de ^0 correspond un point différent de la courbe.
417. On peut toujours satisfaire à cette condition en changeant au besoin de paramètre. Soit, en effet, en ne conservant que les termes dont le coefficient n'est pas nul,
i .2. . .m 1 ,2. . ./rii
et supposons, pour fixer les idées, m^n^p. Posons
i .2 ... m 1,2... mi
Prenons, pour t — ùq^ l'un des développements qui satisfont à cette équation, et substituons-le dans les équations précédentes ; elles prendront la forme
X — a:=u"', Y— 7 = ^„w«-h. .., Z — z — CpUP-h
Soit ô le plus grand commun diviseur des exposants m = ^r, n = ùy^ . . .^ p = Ôtt, Posant u^^= ç^ il viendra
(3) X — ^ = t^^ Y — / = ^„(^^-h. . ., Z—z=epV'^-^
Ces trois équations représentent un cycle de /* branches, et il est clair qu'à deux valeurs infiniment petites de v^, différentes l'une de l'autre, répondent deux points distincts.
On doit remarquer ici, comme pour les courbes planes, que, s'il existe plusieurs valeurs ^0? ^i? • • • ^^ paramètre qui correspondent au point (^, J", ^), chacune d'elles donne naissance à un cycle analogue à celui que nous avons déterminé, et l'ordre total de multiplicité de ce point sera la somme des ordres de multiplicité partiels ainsi calculés.
Si le point (.r,y, z) est simple, il ne correspondra donc qu'à une seule valeur de t. Il faut, en outre, que dans les
4l6 PREMIÈRE PARTIE. CHAPITRE IV.
expressions (3) des coordonnées en fonction de ç figure un terme du premier degré en ç. Comme on a r^v^T:, on aura /" = i , X — x = v el, par suite,
La courbe aux environs du point (x^y^z) est donc l'intersection de ces deux cylindres, dont les plans tangents sont différents.
418. Réciproquement, la courbe d'intersection de deux surfaces quelconques a un point simple partout où les plans tangents aux deux surfaces sont différents.
Soient, en effet, (^,JK, ^) un point de l'intersection, et
les équations des deux surfaces. Les plans tangents étant supposés distincts, l'un au moins des trois déterminants
âFd^ d^âF dy dz dy âz
par exemple le premier, sera ^o. Donc, aux environs du point (.27,/, ^), Y — y et Z — z seront sjnectiques en X — x et admettront des développements de la forme
Y — 7 = è 1 ( X — ^ ) 4- ^ 2 ( X — ^ ) 2 -f- . . . , Z —z =Ci{X — œ)~hc^{X —œy-i-....
En joignant à ces équations l'identité
on a les trois coordonnées exprimées en fonction du même paramètre X — x. Le point est simple et a pour tangente
I ^1 Cl
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. [\l']
Pour déterminer les coefficients b^ et Ci, substituons les valeurs de Y — y et Z — z dans les équations (4). L'identification des deux membres donnera
-r- + -— 61+ — ■ Ci:=0,
ôx (Jy ôz
ôx (Jy dz
On voit par là que la tangente cherchée est l'intersection des deux plans tangents
dx^ ôy ^ ' dz^ '
et a pour équations
i^jV' ^-^ ^y àz dz ôx ôz âx ôx ôy ôx ôy
Lorsque nous voudrons étudier une courbe gauche aux environs d'un point simple, en la considérant comme intersection de deux surfaces, il sera permis, d'après ce qui précède, d'admettre que les deux surfaces qui la déterminent n'ont pas le même plan tangent.
Nous nous bornerons exclusivement, dans ce Chapitre, à la considération des points simples des courbes et des surfaces.
IL — Théorie du contact.
419. Nous appellerons écart de deux points P = {x^y^ z)^ Q ==: (Xi,yi, Zi), et nous représenterons par [PQ] la somme
L'écart ainsi défini n'est nul que si P et O coïncident. La
distance \/{x^ — x)- -t- (jk, — y)- + (^, — ^)- ne jouirait pas
de cette propriété pour des points imaginaires. Mais, si l'on
4t8 première partie. CHAPITRE IV.
se bornait aux points réels, on pourrait, sans rien changer aux théories qui suivent, la substituer à l'écart dans les définitions.
420. Soient F, F, deux figures (lignes ou surfaces) ayant un point commun P. Nous dirons que F a en ce point un contact d^ ordre n avec F,, si à chaque point Q, pris sur cette dernière figure dans le voisinage de P on peut associer un point Q de F, de telle sorte que, lorsque Q, tend vers P, [QQ,] soit infiniment petit d'ordre n -\- i par rapport à
[PQ.l-
