Contact des courbes planes. — Soient

l'équation de la courbe F; (^',jk) les coordonnées de P; (x,,^) ) et (^1 + a,jKi + \i) celles de Q< et de Q. On aura

(I) o = F(^, + a, ;k, + P) = F(.z'„ jO H- ko. 4- B[3,

A et B étant des fonctions de ^,, y,, a, ^ qui tendent res-

pectivement vers -r^? — lorsque ^i, r,, a, p tendent vers

S'il y a contact d'ordre /?, | a | + | ^ | et a fortiori | a | et I p I seront d'ordre n + i, et l'équation (i) montre qu'il en est de même pour F(.r,,)/,). Réciproquement, si F(x<,jk,) est d'ordre /i -H i , il y aura contact d'ordre n. En efTet, pour ^^:r=^, y,=j^, a=:jB = o, la fonction F(:p, 4- a, j^', + j3) s'annule, et ses dérivées partielles par rapport à a, [3 se réduisent à -— ) -r— • Le point (^, J") étant simple sur F, l'une

au moms de ces deux quantités, par exemple — ^ sera ^o.

L'équation (i) définit donc une fonction implicite a des variables ^i, j',, [3, laquelle s'annule pour ^, = ^, y^z^y^ [j = o et admet des dérivées partielles; elle sera donc infiniment petite lorsque x^ — x^ y^ — r, [3 seront infiniment

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 4l9

petils. Si a est défini de Ja sorte, Je point Q =(Xi H- a,jKi + ^) sera sur la courbe F, de quelque manière qu'on ait choisi j^, et pourra être associé au point Q<.

Prenons pour !3 un infiniment petit quelconque d'ordre n -f- i par rapport à | ^< — ^ | H- IjTi — y {', F(Xi^yi ) est du même ordre, par hypothèse ; enfin x^ — x, y^ — JK, a, [B étant

infiniment petits, A et B tendront vers les limites fixes -r—,

— ) dont la première n'est pas nulle. La quantité

sera donc un infiniment petit d'ordre n -\- i au moins, et I a I + I [^ I sera d'ordre n -{- \ . 11 y a donc bien contact d'ordre n.

Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour un contact d'ordre n est que F(^,, y^ ) soit d'ordre n -\- i par rapport à [PQi ] = | ^< — ^ | + |y« — JK |-

4!22. Cela posé, admettons d'abord que la seconde courbe F, soit définie par les équations

Soient t elt -\- dt les valeurs du paramètre qui correspondent respectivement aux points P = (^, y) et Q, = (^, , j-, ). On aura, en désignant par x' ^ x" ^ . . . et jkS y" -, • • • les dérivées successives de o(^) et de cp< (^),

.-r, - — ^ = œ' dt -\- x" h . . . ,

Donc x<^ — ^1 y\ — y sont du premier ordre au moins par rapport à dt. D'ailleurs, l'une au moins de ces quantités sera eft'ectivement du premier ordre; car, Pétant un point simple

sur F,, x' et jk' ne peuvent être nuls à la fois. Donc [PQi sera du même ordre que dt.

Posons d'autre part

on aura

F(^i, y,) = V[o{t-^ dt), 9i (^ -+- dt)\ — W{t-^ dt)

Cette quantité devant être d'ordre ai H- i , on aura, pour conditions du contact demandé, les relations

Ces conditions prennent une forme plus symétrique si l'on suppose les deux courbes données sous la forme

y=zf{œ) et y^f,{œ), lesquelles équivalent, pour la première, à

et, pour la seconde, à

On aura alors

et les équations (2) deviendront

Enfin, si les deux courbes sont données sous la forme implicite

F(^, j) = o et F^{a',r)=o,

on n'aura qu'à déterminer l'ordonnée y et ses n premières dérivées dans la première courbe, au moyen des équations