M[PQ

D'ailleurs AB< — BA < a pour limite le déterminant D : donc, en désignant par A une quantité quelconque un peu plus petite que | D|, on aura, pour toutes les valeurs suffisamment petites de dt et du^

\dt\ + \du\ = ~\pq, .

Le rapport de [PQi] à | â?^ | + | <iw | étant ainsi compris entre deux limites fixes différentes de zéro, ces deux quantités sont du même ordre.

Si donc nous posons

la condition nécessaire et suffisante pour le contact d'ordre Ai sera que l'expression

F(^i, /i, z^)z=:W{t ^ dt, a -\- du)

dW dW

— W(/, u) -\- ^- dt -^ ^— du -\- . . . dt ou

soit d'ordre n -\- i par rapport à | r/^ | + | <iw |.

430. Cela revient à dire que la fonction W et ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre n inclusivement sont toutes nulles.

En effet, si ces dérivées sont nulles, W[t -\- dt^ u -\- du)

APPLICAÏlOiNS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. [\2']

se réduira au reste de la série de Taylor

ddu)

Soit N une constante plus grande que les modules des dérivées partielles d'ordre n -+- i, ~;r«+i ' • • * ' ) /,+i ' I^orsque

dt et du seront assez petits, le module de l'expression précédente sera moindre que

^^f'Qdtl + ldulr-'NdS^^ildll + lduir^K

L'ordre du contact sera donc au moins égal à n.

Il ne pourra d'ailleurs surpasser n, si les dérivées d'ordre n + I ne s'annulent pas simultanément. En effet, si dans l'expression de W(t -\- dt^ u 4- dit) nous négligeons les termes dépendant des dérivées d'ordre >> /i H- i , et qui représentent, comme on vient de le voir, un infiniment petit d'ordre ^ Al + I , on aura approximativement

dt^-{-du^) W{t, u) W{t-i-.dt, u-^du)--^- "^ — -.