Enfin, si elles étaient définies par les équations

F(.r, y, z) —G, <1>(^, .r, «) = o et

Fi(jr, j-, ^) = o, Oi(^, r, ^)i=o,

on n'aurait, pour obtenir les conditions du contact, qu'à

égaler les valeurs de r, z et de leurs n premières dérivées

dans les deux courbes.

4^9. Contact de deux surfaces S <?^ S,. — Soient F(.r,j, 3) = o l'équation de S; (:r, r, s) et (.z'j,j<,^,) les coordonnées de P et de Q,. On voit aisément que la condition d'un contact d'ordre n est que ¥{x^^y^, z^) soit d'ordre n + 1 par rapport à [PQi]-

Cela posé, soient

x = (^{t,u), y~(û,{t,u), zz=zQ^.^{t, a)

les équations de Sr, {t, u) ei {t + dt, u -h du) les valeurs des paramètres aux points P et O, ; on aura

i Xy — ^ = A dt ^^ du,

( ^, — s =; A2 dt + B, du, A, B, ... étant des quantités variables qui ont pour limite

lu' Ju'

On voit aisément que f PQi] est de l'ordre de | ^^ | + | <iw |. Soit, en eilet, M une quantité positive plus grande que

ocp Jt

du

• ; on aura, pour toutes les valeurs suffisamment petites de t et de u,

|Al<iVl, IBKM,

donc |^<— J^l, IJi— r|, hi— -I seront moindres que M.\dt\-^ M I du I ; et, en les ajoutant, il viendra

Mais, d'autre part, P étant un point simple de S,, le déterminant

"~ ôT au ât du

(ou, à son défaut, l'un de ses deux homologues) sera ^o. Or les deux premières équations (8), résolues par rapport à dt et du^ donneront

(AB,— BAi)^^ — B,(^i— ^) — B(jKi — y), (AB,-BA,)^..r=:-A,(.z-,-^)-+-A(y,-y),

|AB,-BA,|(|./^| + |^./,|)<2M(|^,-^|+|y^--y|)