Enfin, si elles sont représentées par des équations

F(^, y, ^) r= G et

on exprimera que le contact a lieu en égalant les valeurs de z et de ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre aï, respectivement calculées dans les deux surfaces.

433. Pour le contact du premier ordre, par exemple, il faudra exprimer d'abord que (^, ,}% z) est un point commun

aux deux surfaces, puis éaaler les dérivées t-' -t- • Elles sont ' " ox dy

déterminées dans la première surface par les équations

d¥ ॠàz^ àV àF dz^

dx dz dx ' dy ôz ôy

et dans la seconde par les équations

fiF, d¥, dz

d\\ d¥, dz

ox dz dx

dy dz dy

I A-.- j j ^^P àF d¥ .

La condition de conj^act est donc que -r- ^ ^- • -r- soient

* dx dy dz

. . dF, dFi dF^ , j,

proportionnels a ——5 — — , ■ > ou que le déterminant ' ' dx dv dz ^

dF dF, dF dF, ^ ' , A A • 1

-r — — r— = A et ses anaJosues A, et Ao soient nuls.

dy dz dz dy o . .

Ces conditions expriment que (^, y, z) est un point singulier sur la courbe d'intersection des deux surfaces F etF^.

434. Remarques. — i"" Si deux surfaces S et S' ont un contact cV ordre n en un point, leurs intersections avec une troisième surface S" passant en ce point sans les y toucher auront un contact d^ ordre n.

Caries coordonnées d'un point Q infiniment voisin de P pris sur la courbe S = o, S" = o satisfont par hypothèse à l'équation S' = o aux infiniment petits près d'ordre /i -|- i . D'autre part, elles satisfont rigoureusement à l'équation S'' = o, qui, jointe à celle-ci, caractérise la courbe S' = o, S"= o. Il y a donc contact d'ordre n entre les deux courbes.

2"* Deux lignes (ou deux surfaces) ayant un contact d^ ordre n avec une troisième ont entre elles un contact de même ordre.

Cela devient évident si l'on écrit les conditions du contact sous les formes (3), (7) et (9).

435. Osculation. — Soient C une courbe (ou surface) quelconque, K une autre courbe ou surface dont l'équation (ou les équations) contienne un nombre de paramètres égala celui des conditions trouvées ci-dessus pour que K ait avec C un contact d'ordre n en un point donné.

Si l'on donne successivement à ces paramètres difïérentes valeurs, on obtiendra une famille de courbes (ou surfaces) K. Celle de ces courbes (ou surfaces) où ces paramètres sont déterminés de manière à satisfaire aux conditions du contact d'ordre n est dite osculatrice à C au point considéré.

436. Au lieu de déterminer les paramètres de K par la condition d'avoir avec C un contact donné en un point donné, on pourrait se proposer de les déterminer de telle sorte que K rencontrât C en un certain nombre de points donnés.

Soient, par exemple, Cune courbe plane ayant pour équations

43o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

K une autre courbe dont l'équation

contienne n + i paramètres.

Posons, comme précédemment,

F[cp(0, cp,(^)]=W(0-

La courbe passera par les /^ + i points t-\- A^, ^ + A,^, . . . , ^ + A,^/, si l'on a les équations de condition

11 est aisé de voir que, si les points t -1- A^, . . . , ^ H- A,^ ^ tendent simultanément vers le point fixe t, la courbe K. aura pour limite la courbe osculatriçe à G au f)oint t.

En elFet, soit, pour fixer les idées, A^ < A, ^ <;...<< A,^^. La fonction W s'annulant aux points t -\- A^, ^ + A,^, . . . , t-{- ù^at^ sa dérivée W devra, d'après le théorème de Rolle, s'annuler en n points t -\- i^\t^ ^ + A!, ^, . . . , t -\- M^t respectivement compris entre t -\- ^t et ^ + A,^, entre ^ + A,^ et ^ -h Ao^, .... De même, la fonction W\ dérivée de W, devra s'annuler en /z — i points ^ + A'^ /, . . . , ^ + A')^ ^ respectivement compris dans les intervalles de ^ -f- A, ^ à ^ ^ A., ^, . . . ; et ainsi de suite jusqu'à la dérivée /i"""'*^ de ^\ On aura donc

W{t-\-^t)r=zo, ^'(^4-a;o = o, ..., W'^{t^^lt)^o,

A'j/, . . ., A"^ étant compris entre A^ et A,^ t.

Si donc A^ et A/^/ tendent vers zéro, ces équations deviendront à la limite

Ce sont précisément les relations qui caractérisent l'osculation.

437. Ce raisonnement s'appliquerait identiquement au cas où, C étant une courbe gauche, K serait une surface ou une autre courbe gauche, et conduirait au m'ême résultat.

Mais si C et K sont des surfaces, la fonction W dépen-

dant de deux variables, on ne peut plus raisonner comme ci-dessus, et la proposition à établir, bien que restant vraie en général, est en défaut dans certains cas particuliers.