III. — Enveloppes

438. SoiiF(x,y, c) = 0 une famille de courbes planes, caractérisées par les différentes valeurs attribuées au paramètre c. Donnons à c une suite de valeurs Cq, c,, C2, .... Nous obtiendrons une suite de courbes

P{^, y, Co) -o, ¥{x, f, Cl) z=o, F(^, j, 6-2) =zo.

Marquons les points d'intersection A, B, G, . . . {Jig. i3)

Fig. i3.

de chacune de ces courbes avec la suivante. Si les valeurs successives attribuées à c se rapprochent indéfiniment les unes des autres, les points A, B, G, ... se rapprocheront également et finiront par dessiner une courbe continue, qu'on nomme V enveloppe des courbes F(^, y, c) = o.

Pour trouver l'équation de cette enveloppe, considérons l'une de ces courbes

et la courbe infiniment voisine

F(^, y, c -i- (ic) = o.

Leur point d'intersection sera défini par le système de ces denx équations.

Mais on a

OU en supprimant le terme F(:z^, 1 , c), qui est nul, et diAisanl par dc^

de âc^ 1.2

A la limite, de étant nul, on aura simplement

0/i obn'endfa done l'équation de l'enveloppé en éliminant c entre les équations

439. Remarques. — i"" Si ces deux équations sont incompatibles, il n'y a pas d'enveloppe.

2° La règle donnée pour trouver l'enveloppe suppose que l'expression F(^, y, c) n'a qu'une seule valeur pour chaque système de valeurs de :r, jk, c. S'il en était aulrement, l'enveloppe cherchée pourrait échapper en tout ou en partie à cette détermination.

Cherchons, par exemple, l'enveloppe des courbes

L'équation — = o se réduisant ici à i = o, il semble qu'on n'ait pas d'enveloppe; en efï'et, les branches de courbe