Cercle osculateur. — Les équations générales d'un
cercle sont
a, p, Y étant les coordonnées de son centre et R son rayon.
Nous avons ici six paramètres : a, ^, y, R, — > — > qu'on pourra déterminer de manière à obtenir un contact du second ordre au point (^, y, z).
On aura, à cet effet, les six équations de condition
(i3) a:'(a:-a)^y'{f-^)-hz'{z — y) = o, (i4) ^''(^ — a)H-/(.r— (3)-hs''(^ — y)-t-^'2 + 7'2H-^'2 o, m(a7 — a)4-/i(y — j3)-f-/?(5— y) = o,
ma^'-hny'-hpz'^zo^
m x" 4- ny" -h /? s'^ = o.
Des trois dernières on déduit, en éliminant m, /i, /?,
ou
Cette équation montre que le point (a, j3, y) est dans le plan osculateur.
La deuxième et la troisième montrent que ce point se trouve dans les deux plans N = o, -r-=o, dont l'intersection est l'axe du plan osculateur. Le centre cherché se trouve donc à V intersection de cet axe avec le plan osculateur ,
Pour calculer a, ^, y, R, nous résoudrons les équations (i 3), (i4) et (i 5) par rapport -a x — a, JK — ?? ^ — y. Le déterminant
Sa
de ces équations étant égal à A^ -h B- -(- G^, on trouvera
