Sphère osculatrice. — L'équation d'une sphère
contenant quatre paramètres, on pourra obtenir un contact du troisième ordre.
On devra, pour cela, satisfaire aux équations
(^ - ay^{y - by^ {z - cY^o\ M =^'(j; — a) H-/'(7 — b)-^ z\z — c) = o,
iioftt la première donnera p-, après que les trois autres auront fourni a, 6, c.
Le lieu des centres des sphères osculatrices n! est autre chose que V arête de rehroussement de V enveloppe des plans normaux. Car ce lieu s'obtiendrait en éliminant t entre les
équations M = o, -^ = o, -— - == o, et l'arête de rebrous-
dt
dt^
sèment en éliminant t entre les équations N = o, — • = o
ôt
-• = o- Or M ne diffère de N que par le signe et par la
désignation des coordonnées courantes (a, 6, c, au lieu de X,Y,Z).
Nous admettrons, pour simplifier le calcul de a, b, c, p, que nous ayons choisi pour variable indépendante l'arc s de la courbe, compté à partir d'un point fixe. On aura, dans cette hypothèse, t = s^ d'où
dt = ds — v/^'2 4-/2^z'2 dt, et, par suite,
Prenant la dérivée de cette équation, on aura la suivante :
Formons les dérivées de M en tenant compte de ces relations. Il viendra
0= — z=z{a; — a)x"-\-{v — b)y'-}-{z — c)z'-hi, o^^^{.r-a)œ"'-^{y-b)y"-^{z~c)zr
En désignant par D le déterminant
on déduira de ces équations
A' On aura de même
et enfin
On peut donner à cette valeur de p une autre expression. Le point (a, 6, c) étant sur l'axe du plan osculateur, qui coupe ce plan au centre du cercle osculateur, p sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle ajant pour côtés R et la distance h du point (a, 6, c) au plan osculateur.
Or, le plan osculateur ayant pour équation
A ( X - ^ ) -^- B ( Y - y ) 4- G ( Z - 5 ) rz: o ,
on aura
— A(a — ^) + B(^> — y) + G(c — ^) ^~~ itv/A^-hB^-f-G^
i AA^+BB^ + GG^ "~ D ±^A'4-B2+G2
^A^-hB-+GY t Y
D Vv^A^+B^+GV *
Mais, en tenant compte de l'équation (i6), on aura
re part, par (que nous retrouverons plus tard sous le nom de rayon de
n- • ^' I ^ 1 ♦•♦X A2-hB2 4-G2
Désignons, d autre part, par r la quantité |r
torsion)'^ il viendra d'où
