A un cycle C de F

correspondra un cycle C de F'

t .1.1., ryi . j' . nr/

Tp T^, T3 représentant les fonctions

débarrassées toutefois, s'il y a lieu, de la puissance de t qu'elles pourraient contenir toutes trois en facteur commun. Les points de C, correspondant uniformément à ceux de C, correspondront uniformément, comme ceux-ci, aux valeurs du paramètre t.

Si G est d'ordre /* et a pour origine le point (^r^, y^^ :?o), on aura

T^ — x^-^af-^. ... T2— r^-f- hL'+.. ., T^^ Zç,^ cf -{-. ..

et, par suite,

/,(T„T„T,)=./,(.r., /„,-.,)+ («1^ +/,|^ + cg!-)r+...,

J^e cycle G' aura donc, en général, pour origine le point correspondant à [xq^ y^^ Zq)^ et son ordre sera ;•. Toutefois, cet ordre s'élèvera si

yi('^oi yo) -"0)5 fii^^Oi JKo^ -^o)- f-.ii^^'o-' .>''o> -^o)?

6o4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

sans être nuls simultanément, sont proportionnels à

ôXq âfo oz^

Si ces trois quantités s'annulent à la fois, auquel cas les équations (i) cessent de définir les rapports x' ', y' \ z' ^ on aura à supprimer la puissance de t qui figure en facteur commun dans/, (T,, Ta, Tg), .... Le cycle G' aura pour origine un point [x^^ y'^^ z'^)^ que nous considérons comme le correspondant àe {xq^ y^^ Zq).

Enfin, si le point [xq^ y^^ Zq)^ où/,, /a, /a s'annulent, est l'origine de plusieurs cycles G, C,, ... de F, ils auront pour correspondants des cycles G', G',, ..., ayant pour origines des points (j?;, /,, yj, (^;,, 7;, 5 ::,,), ...; et le point (^07 Xq-) ^0) correspondra à l'un ou à l'autre de ces points, suivant qu'on le considère comme limite de points situés sur G, ou sur Gi , . . ..

Il peut donc exister sur F des points ayant plusieurs correspondants sur F'. Mais ces points devront être multiples sur F, et situés sur/,, fzj f-i\ leur nombre est donc limité.

Réciproquement, un point multiple de F', situé sur/', , /.j, /'g, aurait plusieurs correspondants sur F.

o97. L'existence d'un élément invariant par toute transformation birationnelle peut s'établir comme il suit :

Les deux courbes F et F' étant supposées liées parla relation (i). Dosons

^ ^' '- ^' ''-^'-/3(^,7,^)-/3(X,Y, .)• Gela posé,

d\ " dX '^ ôY dX

étant une fonction de X, Y et -tt-j la somme de ses ordres par rapport à t^ pour tous les cycles de F, est nulle.

COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 6o5

~dt

La somme des ordres de la fonetion —r--, pour la

dX.' courbe F, est donc égale à la somme correspondante. —7-5

pour la courbe F^

L'existence de cet invariant étant établie, son expression est aisée à trouver. On a, en effet,

dx dz

. d\ " Ift ~ ^^ Tu ~di ~ 7'

Or nous avons vu (o80-581) que la somme des ordres du numérateur est égale à S(/' — 1 + coo) = v + S(/' — i); celle des ordres du dénominateur sera 2 n. L'invariant cherché sera

donc

V + 2(/' — i) — in.

Posons

Le nouvel invariant p ainsi défini se nomme le genre de la courbe F. C'est un nombre entier, qui ne peut être négatif si F est indécomposable.

En effet, toute courbe F pouvant être changée, par des transformations quadratiques qui n'altèrent pas le genre, en une courbe F' n'ayant que des cycles simples à tangentes séparées, il suffit d'établir la proposition pour cette dernière. Dans ce cas, S (/' — i) est nul et, a/f désignant le nombre des points de multiplicité A", on a

V = /i ( /i — I ) — ^<y.kk{k — I ) et, par suite,

nombre évidemment entier et qui n'est pas négatif (568).

598. Soit F une courbe indécomposable, d'ordre /2, n'ayant que des cycles simples à tangentes séparées. Si l'on suppose le triangle de référence choisi de telle sorte que le som-

6o6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

met X = z = o ne soit pas sur la courbe, celle-ci aura une équation de la forme

A étant une constante différente de zéro, et A,, . . ., A„ des polynômes en X, de degrés i, . . ., n respectivement. Si nous posons, pour abréger,

le genre de /? de F sera donné (numéro précédent) par la formule

Soit

/=:(3Y'«4-(3iY'«-i-f-... = o

une autre courbe d'ordre m. Proposons-nous de déterminer ses coefficients de telle sorte que, parmi ses mn points d'intersection avec F, il y en ait le plus grand nombre possible qui occupent des positions choisies d'avance. Voyons d'abord de combien d'indéterminées nous pouvons disposer pour cela.

Effectuons la division de /par F^; il viendra

/=QF + R,

Q et R étant des polynômes entiers, dont le dernier est de degré m en X, Y, mais de degré n — i seulement en Y . Or il est clair que les points d'intersection de f avec F" sont les mêmes que ceux de R avec F\ Nous pouvons donc nous borner à considérer parmi les courbes d'ordre m celles dont l'équation ne contient Y qu'au degré n — i .

Supposons d'abord /« ;> n — 3. L'équation de la courbe /

contiendra -^ termes de degré ^n — 'à, plus n termes

de chacun des degrés n — i^ n, . . ., m. Le nombre total de

ces termes sera donc

, (n — i)n {m — n -{- 2)n -1- =r 77in — p — a -+- r ,

et l'on pourra déterminer les rapports des coefficients de manière à faire passer/ par mn — p — d points fixés d'avance 5 il restera donc p -\- d points d'intersection dont on ne pourra disposer.

Si m^n — 3, le nombre des termes de /sera

, et celui des points d'intersection dont on ne pourra disposer sera

mn — — h I .

En particulier, pour m= n -- 3, ce nombre se réduira à

599. Les nombres précédents peuvent être diminués si l'on fait passer /par les points multiples de F.

Supposons, en eflet, qu'on remplace pour / l'obligation

de passer par points fixes de F par celle d'avoir un

point de multiplicité i à un endroit où F a elle-même un point de multiplicité k. Le nombre de conditions sera le même; mais le nombre des points d'intersection dont la position est fixée par là ne sera plus > mais ik. Le ré-

sultat le plus avantageux s'obtiendra donc en donnant à i la

valeur A — 1 , qui donne a ik sa valeur maximum

k{k^,) Si donc m est assez grand pour que le nombre des coefficients doni on <lispose permette de donner à/ un point mul-

6o8 PREMifîRK PARTIE. — CHAPITHK V.

tiple d'ordre A — i partout où F a un point multiple d'ordre k (auquel cas nous àiTons (\yxe; f esX, une courbe adjointe àe¥)^ le nombre des points d'intersection dont on ne peut disposer

sera diminue de la quantité > a^ = a. 11 se réduira

donc :

1° à p si m> n — 3 ;

2° à p— ^ si m z=z n — 3.

600. La condition d'être adjointe donnant d relations linéaires et homogènes entre les coefficients de /, il existera toujours des adjointes si m^ n — 3. Il en existera également pour m = 71 — 3, si /? >> o (d'où /z >> 2). Le nombre a des coefficients qui restent arbitraires dans l'adjointe la plus générale de degré m (ou, ce qui revient au même, le nombre des adjointes linéairement distinctes de degré m) sera donné par les formules suivantes :

i'* Si /?? >> /i — 3,

^^= {ni — n H- 2 ) /i H ■ d

=z-. ( f)i — //. H- 2 ) /^ -+- p -\- n — I . 2° Si m = n — 3,

Le nombre jjl ainsi calculé devrait être augmenté si les d équations linéaires auxquelles doivent satisfaire les adjointes n'étaient pas distinctes. Il nous faut donc démontrer que ce cas ne peut se présenter.

60L Nous nous a[)puierons, à cet effet, sur le lemme suivant, cas particulier d'un théorème célèbre d'Abel, que nous démontrerons dans le Calcul intégral.

Soit ^ (X, Y, Cl , C2, . . .) = o une courbe algébrique quelconque contenant dans son équation des paramètres c<, C2, ... et coupant la courbe F(X, Y) =^ o aux points

(X<,Y,), ..., (X/, Y/), Si nous changeons c,,C2, ...

en c, + <^C|, C2-\-dc2i ..., nous obtiendrons une autre courbe infiniment voisine, coupant F aux points

(X,4-^X,,Y,.+ ^Y0, ..., c?X/, dfYf, . . . étant donnés par les formules

Cela posé, soity*(X, Y) une quelconque des adjointes de degré n — 3 de la courbe F ; on aura

^ aXj =: o.

dF{X,, Y,

602. Cette proposition étant admise, supposons que pour un certain degré m^n — 3 le nombre des coefficients indéterminés qui restent dans l'adjointe soit >> jjl. En assujettissant l'adjointe à passer par [Ji — i points «, = (Xi, Y, ), ..., a^i = (Xfj^, , Y[j,< ) choisis à volonté sur F, elle contiendra encore plus d'un coefficient indéterminé ; on aura donc tout un faisceau d'adjointes passant par ces points. Soit C l'une d'elles; elle coupera encore F en v autres points

<^(JL= (X[x, I[x)j •••? <^[X+V— IJ

le nombre v étant << [jl ; car nous avons vu qu'il est égal à/), si /n"^ n — 3, kp — ^ i si m = n — 3.

Cela posé, par les [a — i points «v+i 5 • • • ? ^^jx+v-i > f>n peut faire passer un faisceau d'adjointes, ayant pour équation générale

Ci9i-)- ^2 92-+-- • '"o,

et C sera l'une des courbes de ce faisceau. On aura donc pour des valeurs convenables assignées aux paramètres «<. C25 . . .

G||Ci9i + C292-i-.- ••

6lO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

Changeons c,, Ca, ... en C| -f- dci^ C2-f- dc2y ... ; on aura une autre courbe C, coupant F, comme C, aux points multiples et aux points fixes «v+i- •••) «[i+v-i 6t, en outre, en des points

a; = (X,-t-^„ Yi4-6/Y,), ..., a;-(Xv + ^v, Yv-l-^Yv^

Or on sait qu'il existe au moins p adjointes linéairement distinctes y<, . . .,/";?, de degré n — 3. Appliquant à v d'entre elles le théorème d'A.bel, on aura v équations

V A(Xi, Y,) ^^, ^ (A- = ., 2, . . . , V).

Ces équations, en nombre égal à celui des quantités c?X/, ne pourraient être satisfaites qu'en supposant que les d^i sont tous nuls ou que le déterminant des coefficients est nul.

603. La première hypothèse doit être écartée. En effet, les courbes C et G' coupant F aux mêmes points, il en serait de même de la courbe

(5) C"= <1?CiO, 4- t/C2Cp2 + - • • — o,

quels que soient les rapports de dCi, dc^f .... En les déterminant convenablement, on pourrait faire passer cette courbe par un nouveau point de F. Les courbes C" et F auraient ainsi plus de points communs que n'en comporte leur degré, et devraient avoir une partie commune ; et comme F est indécomposable, on devrait avoir

^ étant un polynôme entier. Ce résultat est absurde, G" étant de degré moindre que F par rapport à la variable Y.

604. La seconde hypothèse ne peut être vérifiée en général, mais seulement pour certaines positions particulières des

COURBES PLANES ALC.ÉBRIQUES. 6l I

points a,, ..., a^^ qu'on sera libre d'éviler, puisqu'ils font partie de la suite des points a,, . . ., a^^ , qu'on peut choisir arbitrairement sur F. Tout d'a])ord, si ces points sont pris à

distance finie, -^^ y restera fini. Le déterminant qui doit s'annuler deviendra, après la suppression des dénominateurs I • • • qui figurent en tacteur commun,

/,(Xv,Y.,)

/aX,, y,) ... .AiX^-Y,) Cette expression développée peut se mettre sous la forme

Mi/,(X„ Y0-1-M,/,(X„ Y, ) + ... = o,

Ml, Mo, ... étant indépendants de X,, \,. Pour que cette équati.on ait lieu pour une position arbitraire du point (X,, Y,) sur F, il faudra que son premier membre soit divisible par F(X,, Y, ), et, comme il est de degré moindre que F, il devra être identiquement nul. D'ailleurs les fonçlionsy,,y25 ••• sont linéairement distinctes ; donc il faut que les mineurs YI,, Ma, . . . soient tous nuls.

D'ailleurs, l'un quelconque de ces mineurs, tel que YI,, peut être mis sous la forme

et ne pourra s'annuler, pour toute position du point (Xo, Y 2) sur F, que si les mineurs du second ordre N2, . .., Ny sont nuls. Continuant ainsi, on voit que le déterminant ne peut s'annuler pour toutes les positions possibles de (X,, Y,), ..., (Xv,, Yv i) que si le point (Xv, Yv) est commun à F et à toutes les adjointes /,, ...,/v

6O0. Nous aurons en particulier, pour ni = n — 2, p -{- n — i adjointes linéairement distinctes, rencontrant chacune F en ip •\- n — 2 points, outre les points multiples.

bl2 IMŒ.MIÈUI'; PAKTIE. — CHAPITRE V.

Celles de ces adjointes qui passent par/) -{- 7i — 3 points fixes r/, = (X,5 Y,), ..., a^^„3 formeront, en général, un faisceau à deux coefficients.

Chacune des courbes de ce faisceau coupera F aux points a,, . . ., ap^n^ et en /? + I aulres points. Si /z >> 3, ces derniers points seront toujours différents pour deux courbes différentes du faisceau si les points fixes a<, ..., ap^n-3 (dont le nombre est au moins égal k p -\- i) n'ont pas des positions particulières.

Supposons, en effet, que l'un des p H- i derniers points d'intersection fût nécessairement le même pour deux des courbes du faisceau et, par suite, pour toutes les autres. Soient C une courbe particulière du faisceau; (2,, . . ., c/2/7+«-2 ses points de rencontre avec F. La courbe C appartient au faisceau des adjointes d'ordre n — 2 qui passent par les p -{- n — 3 points fixes cip^^) •••j <^2/tj+«-2- Si ce dernier faisceau n'a que deux coefficients, toutes ses courbes devront, d'après notre hypothèse, avoir encore sur F un point commun, qui sera nécessairement l'un des points a , (fp-)^\-i

par exemple cipj^^ . Si, au contraire, le faisceau a plus de deux coefficients, on peut déterminer l'un d'eux en fonction des autres de telle sorte que la courbe correspondante passe par ap^\. Il restera encore au moins deux coefficients indéterminés. Nous obtenons donc, dans tous les cas, un faisceau de courbes adjointes passant toutes par les points «/,+«, . . ., ^'2p+n-2 et dont la courbe C fera partie.

Appliquons à ce faisceau le théorème d'Abel : en prenant successivement les p adjointes /, , ..., fp d'ordre n — 3, on aura les /> équations

qui ne peuvent subsister que si les d^ii sont tous nuls, ou si le déterminant de leurs coefficients est nul. Mais on a vu que la première hypothèse est inadmissible, et que la seconde

(.01 RUES l'LANF.S AIJifilMHQlKS. (3 I 3

ne peut être \érifjée que pour des positions particulières des

606. Cela posé, considérons les adjointes d'ordre n — 2, qui passent par p -^ n — 4 points fixes «^, ..., ap^n-\ pi'is arbitrairement sur F. Elles forment un faisceau à trois coefficients

c, ©1 + Co 9-2 -h C3 cpa — o.

Soit a = (5, Yi) un autre point pris arbitrairement sur F, et posons

Eliminant ç, r^ entre cette équation et

nous obtiendrons entre Ç', 'r\ une équation

liée à F par la transformation (6). Cette transformation sera, en général, birationnelle. En efi'et, si à un point (ç', r/) de F' correspondaient, en vertu des équations (6) et (^), deux points de F, a 1= (^, 71) et a, = ( H| , rii), on aurait

■ '" cp3(H, -n) " 93(^1, -r],)'

9i(^, -ri) 9-2 (c, rO

qui passent par les/> -h /^ — 3 points a, , . . ., <7y,^„3, a, passeraient encore par un autre point a, de F, ce qui, comme nous l'avons vu, ne peut avoir lieu pour des positions arbitraires des points a,, . . ., a.

6l4 PRKMikRE I'AUTIE. — CHAPITRE V.

607. La courbe transformée sera donc du même genre que F. Cherchons à déterminer son degré n' . Posons, pour rétablir l'homogénéité,

La courbe F aura pour équation <ï) r= o, et la transformation (6) pourra s'écrire

^K-) ']^2î '1^3 étant des polynômes d'ordre n — 2 ; entin la transformée aura une équation de la forme

Le degré cherché est le nombre d'intersections de la courbe <ï>' avec la droite arbitraire

A chacun de ces points correspond sur F un point (r, y^z) satisfaisant aux deux relations

Ces deux équations simultanées, de degrés n — 2 et n respectivement, définissent n{n — -2) points, dont chacun correspondra réciproquement à un point commun à

pourvu que 6,, 'i>2, ^3 ne s'annulent pas à la fois.

On voit donc que n! est égal au nombre des intersections des deux courbes (9) qui sont variables avec À,, ^^25 ^3- Ce nombre est/? + 2. Nous pouvons donc énoncer ce théorème :

Toute courbe de genre /> >> o peut être changée par une Lransforniation hirationnelle en une courbe de même genre, et de degré p H- 2.

COURBES PLANES ALGÉBRIQIES. 6t5

608. Il nous reste à étudier les courbes de genre zéro, dites courbes unicursales.

Soient F = o une semblable courbe; cp^, cpa deux de ses adjointes, d'un même degré m et coupant F, la première aux points a,, . . ., a^^^ a, la seconde aux points <7,, . . ., «Ma, j^. Elles n'auront pas d'autres points de rencontre avec F, puisque p est nul.

Considérons les adjointes du faisceau

6\, Oo -:^ G.

Chacune d'elles coupera F aux points «',, . . . , a^^^ et en

un autre point (?,'Q) variable avec le rapport — = /. Pour

obtenir ^, on éliminera ri entre les équations F=ro, c, C5, + c2'>5o= o, et l'on supprimera, dans l'équation finale, les facteurs correspondants aux racines fixes; il restera une équation du premier degré, d'où l'on déduira E = R(^), R désignant une fraction rationnelle. On trouvera de même 'r\ = R, (^), R, étant également rationnel.

L'équation F = osera donc équivalente au système des deux suivantes :

H=.R(0, r,=rR,(0.

A chaque point (^, t,) de F correspondra, en général, une valeur unique de t. Car si deux adjointes diflerentes Ch cp4 --h C2'f2, c'jCp, -h C2'f2 passcnt par le point (i,ïi)? ?< et cp2 y passeront aussi; (?, ti) sera donc un des points communs à C9,, C22, F, c'est-à-dire un point multiple, ou l'un des points rt,, . . . , a^..-ï'

Pour obtenir la valeur de t correspondante à l'un de ces points particuliers A, on supposera que le point ($, ^l), d'abord différent de ce point, s'en rapproche indéfiniment, et l'on cherchera la valeur limite vers laquelle tend t. Ce sera celle que nous ferons correspondre au point A.

Si ce point est multiple d'ordre k, on pourra supposer successivement le point (^, r,) placé sur chacune des A bran-

6l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.

ches de F qui se croisent en A; on obtiendra ainsi k valeurs de t corres[)ondantes à ce point.

609. Considérons réciproquement une courbe F définie par les équations

R et Ri désignant des fractions rationnelles. Réduisant ces fractions au même dénominateur, on pourra les mettre sous la forme

cp,, cp2, ^3 étant trois polynômes sans facteur commun.

Cherchons combien de valeurs du paramètre t correspondent, en général, à un même point de la courbe. Soit t^ l'une d'elles; les valeurs cherchées seront les solutions communes aux deux équations

Les deux polynômes P et ?< sont divisibles par 8 — t^\ mais ils peuvent avoir d'autres diviseurs communs. Soit en général D (8, t^") leur plus grand comnaun diviseur; on aura

P,(9,^,)==:D(0,^OQl(^,^l).

Les deux équations Q = o, Q< = o ne pourront avoir de racine commune que pour des valeurs particulières de /,. Les solutions communes aux deux équations (11) se réduiront donc (lorsque /, reste indéterminé) aux racines de l'équation

Ces racines sont généralement dislinctes, car une racine

double devrait satisfaire non seulement aux équations (lo), mais à leurs dérivées

équations algébriques qui n'admettent qu'un nombre limité de valeurs de 9; et les valeurs correspondantes de /«, déduites des équations (to), seraient également en nombre limité. Soit donc

les équations (lo) admettront, en général, m racines communes distinctes ^,, . . ., t^, solutions de l'équation

Si l'on permute les deux variables 8 et ^i, les deux polynômes P et Pi changent simplement de signe; leur plus grand commun diviseur D doit donc se reproduire à une constante près; il est donc du degré m en ^,. L'un au moins des polynômes A, A,, . . . , par exemple \^^ sera de degré /n^ les autres étant de degré ^/n. En particulier, A sera de degré inférieur à m; car, s'il en était autrement, D ne pourrait s'annuler identiquement pour ô = ^, , ainsi que cela doit être ; car D (ti,ti) contiendrait un terme en ty'% qui ne pourrait se réduire avec les autres.

D'autre part, ti désignant l'une quelconque des racines /,, . . . , tm, on aura

Les équations

R(rj)=rK(^,), R,(Ô)=zrR,(/,)

seront donc équivalentes aux équations (lo). L'équation D (Ô, ti), qui fournit les racines communes à ces équations, sera donc équivalente à D (9, /, ) = o. On aura, par suite,

Aix(^/) ^ M M A(;,) \{t,)'

6j8 première partie. — chapitre V.

Si donc nous posons

à chaque valeur de ce nouveau paramètre a correspondront m valeurs de t et précisément celles qui correspondent ellesmêmes à un même point (^, yj) de la courbe F; et ^, r, étant des fonctions algébriques de u^ qui n'ont qu'une seule valeur pour chaque valeur de u^ seront rationnels en a.

On voit ainsi que, si les coordonnées d'un point d'une courbe sont exprimables en fonction rationnelle d'un paramètre, on pourra toujours, en changeant au besoin le paramètre, faire en sorte qu'à chaque point de la courbe corresponde une seule valeur du paramètre.

610. Supposons cette condition réalisée, avec le paramètre ^, pour une courbe définie par les équations

nous allons établir que cette courbe est unicursale.

Les fonctions R (^), R, {t) peuvent être supposées r('duites au même dénominateur. Passant aux coordonnées homogènes, en posant ^ = - , Tj =:-, les équations de la courbe pourront s'écrire

T,, T2, T3 étant des polynômes en t.

Par une transformation birationnelle

nous pouvons changer la courbe F en une autre F' de même genre /?, n'ayant que des cycles d'ordre i. Les équations <le cette nouvelle courbe seront de la forme

^':/::;'::0.:0, -iBa,

(-),, 02, 03 étant de nouveaux polynômes en l.

A chaque point [x' , y' ^ z') correspondra d'ailleurs, en général, un seul point (x^y,z)^ et par suite une seule valeur de t.

0, —7 «/^' -+- r^i t'^'^ -h . . . , 02— bt'^ bil'-^-i-. . . ,

03 =r Cf -h C, /•"■■-* + . . . ,

l'un au moins des trois coefficients a, b^ c étant ^o. D'ailleurs, si t croît indéfiniment, on aura, en posant t =z —,

œ' : y' : z' :: a -hait' -h. . . : b-h bit' -h. . . : c -hCit' -h. . . .

Ces équations définissent un cycle de F', qui doit être d'ordre i, par hypothèse; donc l'un au moins des trois déterminants abi — a, 6, bCi — bi c, ca, — c, a sera ^ o.

Le degré n de la courbe F' est le nombre de ses intersections avec une droite arbitraire

Les t correspondants sont les racines de l'équation de degré s

a0, + (30,-hy03=:o,

et à chacune d'elles correspond un point distinct de F'. Donc n = s.

Cherchons d'autre part la classe v de F'.

Une droite

UX -\- i^f -h WZ ■=. O

sera tangente à F' au point t si l'on a

W01 -h P02 -h Vï^03 = O,

Elle passera, en outre, par un point donné arbitrairement

a, ^, Y, si l'on a

wa 4- v'^ -H <f'y = o.

Eliminant u^ v^ w entre ces trois équations, on aura, pour déterminer les points de F' dont la tangente passe par a, p, y, l'équation

«(020;-030,)-h(3(030'i-0i(^'3)4-y(0,0;-0,0;)=:o-. Or

010; - 02 0; = - {ah, — a,b) t"'---^.. . .

L'équation en t est donc de degré is — 2, etv = 2 5 — 2. Gela posé, F' n'ayant que des cycles d'ordre i , son genre/? sera défini par la relation

ip — 2m V — 2AZ = 2 5 2 — 25= 2.

Donc p =z o, et les courbes F', F seront unicursales.