Démontrons encore le théorème suivant
Toute transJorniaLîon de Cremona résulte de la composition de transfoj^niations quadratiques.
Soit S une semblable transformation, définie par les relations
où/, 5/27 .A sont des fonctions d'ordre n en x^ v, z.
Considérons trois points quelconques p ==: (a, a', a!')^ /)' = (p, [ii', ji'^), />"= (y, y^ y") non en ligne droite, et composons la transformation S avec la transformation homographique
La transformation résultante sera
en
où cp, =/, (a? + iSïi 4- yÇ, . . ., . . .), ... sont de degré n Composons cette nouvelle transformation avec la suivante :
(3) |:rî:Ç::-vr:Ç'r:r-^'.
La résultante S, sera
<]>,=: cp,(T/Ç', Ç'?', ^'^o')' ••• ^t^i^t ^^ degré 2.n en Ç', •/)', 'Q .
Le degré de cette transformation s'abaissera toutefois si l'un des points /?, /?', p" est un point fondamental de la transformation S.
Supposons, par exemple, que p soit un point de multiplicité i, commun aux courbes /j, /a, /a ; son correspondant Yj ==r Ç=r= o sera multiple d'ordre i sur les courbes <p,, cp2, cp^.
600 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRIÎ V.
Donc tous les termes de cpi, cp2) fa seront de degré au moins égal à «par rapport à t], Ç. Donc tous les termes de i{><, d/o, ^3 seront divisibles par ^'^ Ils seront de même divisibles par 7j''', ^'^'^ si p'j p" sont fondamentaux et de multiplicité i\ i" . Après suppression de ces facteurs communs, le degré de ces fonctions ne sera plus que in — i — i' — i" . On déduit de la relation (2)
A, B, G étant linéaires en x^ y, 3, puis de la relation (3)
(4) ?':r]':Ç'::-r]Ç:ç^:?ri ::BC:CA: AB.
La transformation S résulte donc de la composition de S, avec la transformation quadratique (4).
Le théorème sera donc établi si nous montrons qu'il existe, dans toute transformation S, trois points fondamentaux non en ligne droite et dont les ordres de multiplicité «, ?', i' aient une somme > n. Car la démonstration du théorème pour S sera ramenée à sa démonstration pour S, qui est une transformation de degré moindre.
594. Or, soit a^ le nombre des points fondamentaux de multiplicité k\ on a, comme nous l'avons vu, les relations
zn'-i,
dont
la
combinaison donne
la suivante
(7) lka/,sr: 3/^ — 3.
D'ailleurs, la somme des multiplicités de deux points fondamentaux quelconques ne peut surpasser n; autrement, les courbes /i, /2y /a coupant en plus de n points la droite A = o qui les joint,/,, /a, /s contiendraient A en facteur commun, contrairement à notre hypothèse. Mais, si /z >> 1 ,
COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 6o I
on a n <^ '6n — '6. Donc il y a au moins trois points fondamentaux.
Soient p, p\ p" les trois points fondamentaux dont les ordres de multiplicité sont les plus élevés; soient /, i', i" ces ordres et supposons i^i' yi". Les équations (6) et (y) pourront s'écrire, en mettant ces termes en évidence, '
lA-^a/, - n'' — I — r^ — r-— i'"-,
^k cz/,.= Z II — 3 — / — i' — i!\
les nouvelles sommes étant restreintes aux autres points fondamentaux.
On déduit de ces relations
iC- — I — i- — l'"- — i'- — i" {?>n — 3 — i — i' — i" ) --=z1k{/x — i'' ) a/,. -^ o,
car A — l" est toujours ^o.
Donc n ne peut surpasser la plus grande racine de l'équation
laquelle est égale à
La quantité sous le radical peut s'écrire
Mais iy i' yi"^i. Elle est donc moindre que ( i-\- i' —
et 1 on a
Enfin les trois points p, p', p" ne sont pas en ligne droite ; car, s'ils étaient sur une même droite A = o, celle-ci, coupant les courbes/, , /g, /a en plus de n points, /, , /a, /a auraient le facteur commun A.
6o2 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
IV. — Transformations birationnelles d'une courbe. 595. Posons, comme nous l'avons déjà fait,
/, , y*2, /:$ étant (les polynômes homogènes d'un même degré / en x^ y, z et sans facteur commun.
Supposons X, y^ z assujettis à la relation
L'éliminalion de x^ y, z entre les équations précédentes donnera une équation
exprimant la relation qui doit avoir lieu entre les rapports x'\y'',z' pour qu'il existe un système de valeurs des rapports ^ :y : s pour lequel les équations (i) et (2) soient satisfaites simultanément.
Le plus habituellement, cette solution commune sera unique (sauf, peut-être, pour certaines valeurs particulières des rapports x'\y'\z'). On sait, dans ce cas, qu'elle sera donnée par des équations de la forme
R, Rj étant des fractions rationnelles qu'on peut supposer réduites au même dénominateur.
Chassant les dénominateurs, ces équations pourront se mettre sous la forme
/', ,/2,/3 étant des polynômes homogènes et d'un même degré /' en x' ^ y' ^ z' .
A chaque point x^ y, z de la courbe F correspond donc un point x' ^ y', z' de la courbe F' et réciproquement, les
COURBES PLANES ALGÉBRIQUES. 6o3
points correspondants étant liés par les deux systèmes de relations (i) et (4).
Ces deux systèmes ne seraient pas équivalents pour des valeurs quelconques de x^ y, s, ^', y', ^' [à moins que la transformation (1)1^^ ^^^ "^^ transformation de Cremona]; mais ils le sont, et cela nous suffit, pour celles de ces valeurs qui satisfont aux équations (2) et (3).
Nous dirons que les équations (i) et (4) établissent une correspondance uniforme, ou b [rationne Ile, entre les courbes F et F'.
