I. — Limites
1. L'objet primitif de l'Arithmétique est l'étude des nombres entiers.
Pour pouvoir exécuter, dans tous les cas, la résolution des équations du premier degré, on a dû étendre cette première conception, par l'introduction des nombres négatifs et des nombres fractionnaires. On obtient ainsi l'ensemble des nombres rationnels.
La résolution des équations de degré ;> i exige de nouvelles généralisations. Les principes sur lesquels elles reposent sont intimement liés à ceux du Calcul infinitésimal, et nous devons les exposer brièvement.
2. Nombres irrationnels. — Soient A et B deux systèmes de nombres rationnels jouissant des propriétés suivantes :
1° Tout nombre de B est plus grand que tout nombre de A;
2*^ On peut toujours déterminer dans A et B respectivement deux nombres a et 6, tels que Von ait
b — a<iz,
quel que soit le nombre positifs, donné a priori.
Ces hypothèses admises, les nombres (rationnels) pourront se répartir en trois classes :
La première X contiendra tous les nombres inférieurs à quelqu'un des nombres de A; la seconde ill), tous les nombres supérieurs à quelque nombre de B; la troisième G, ceux qui ne sont ni inférieurs à un nombre A, ni supérieurs à un nombre B.
Il est impossible que cette classe © contienne deux nombres différents c et c' <C c. On aurait, en effet, quel que fût le choix de a et de ^,
a'^c' , b^c, d'où b — « = c — c',
résultat contraire à notre seconde hypothèse.
Elle peut contenir un nombre unique c (ce cas se présentera, par exemple, si l'on prend pour A l'ensemble des nombres >> c, et pour B l'ensemble des nombres << c).
Mais il peut arriver aussi qu'elle n'en contienne aucun (on sait qu'il en sera ainsi si l'on prend pour A la suite des réduites de rang impair, pour B celle des réduites de rang pair d'une fraction continue illimitée).
Nous ferons disparaître cette distinction, en disant que, dans le second cas, il existe encore un nombre c plus grand que tous les X et plus petit que tous les Db, mais que ce nombre est irrationnel.
L'ensemble des nombres ainsi obtenus, tant rationnels qu'irrationnels, constitue le système des nombres réels.
Chacun de ces nombres est défini, comme on le voit, par la connaissance des nombres rationnels qui sont plus petits que lui, et de ceux qui sont, au contraire, plus grands que lui.
3. Si un nombre rationnel r est plus petit (plus grand) qu'un nombre réel c, il est clair, d'après nos définitions, que tout nombre rationnel r' plus petit (plus grand) que /• sera a foj^tio ri plus petit (plus grand) que c.
Mais on peut démontrer qu'^7 existe, en outre, une infinité de nombres rationnels compris dans V intervalle de r à c.
En effet, si c est rationnel, tous les nombres r -{- m(c — /'), où m est une fraction quelconque comprise entre o et i , satisfont à cette condition.
Si c est irrationnel, supposons, pour fixer les idées, c >> r. Soient A, B les deux systèmes de nombres rationnels qui déterminent c. Tout nombre rationnel appartient, par hypothèse, à l'une des deux classes X et i)l), définies comme cidessus.
Le nombre r <C c appartient à la classe X. Il est donc moindre qu'un nombre a du système A. Ce nombre a étant plus petit que tous les B n'appartient pas à la classe i)'j : c'est donc un nombre X. Donc il est moindre qu'un autre nombre «< du système A. Continuant ainsi, on obtiendra une suite infinie de nombres rationnels croissants /', a, a,, ..., et tous << c.
On dira qu'un nombre réel c est plus grand qu'un autre nombre réel c', s'il existe un nombre rationnel /• qui soit <i c et > d . Dans ce cas, tous les nombres rationnels, en nombre infini, compris entre c et r, ou entre /' et c', jouiront de la même propriété.
Il est clair que, si c > c' et c'> c'^, on aura c > c".
Enfin, entre deux nombres rationnels quelconques r et r + £, // existe nécessairement un nombre irrationnel (et, par suite, une infinité).
Soit, en effet, c un nombre irrationnel défini par les deux systèmes de nombres rationnels A. et B. On peut déterminer dans ces systèmes deux nombres a et 6, dont la différence soit <; £, et comprenant entre eux le nombre c.
Soient A<, B, les deux systèmes obtenus en ajoutant la constante r — a à tous les nombres de A et de B. 11 est évident que ces nouveaux systèmes ont les qualités requises pour définir un nouveau nombre irrationnel, compris entre r et r + £.
Un nombre réel c sera dit positif, s'il est > o (auquel cas
il sera encore supérieur à une infinité de nombres rationnels
positifs); négatif, s'il est < o.
Les inégalités
pouvant s'écrire ainsi
on voit qu'à tout nombre réel c, défini par le système des nombres a et celui des nombres Z?, correspond un autre nombre de signe opposé, défini par le système des nombres — 6 et celui des nombres — a. Nous désignerons ce nombre par — c. On aura, d'après cette définition,
4. Il nous reste à généraliser la définition des opérations de l'Arithmétique, pour les rendre applicables à tout nombre réel.
Soient c, c' deux semblables nombres, définis respectivement par les systèmes A, B; A', B'. Soient a, b; a\ b' des nombres pris respectivement dans ces systèmes; on aura
Mais, d'autre part, on pourra choisir «, b^ a', b' de telle sorte qu'on ait
d'où
VAUIABLES RÉELLES. 5
Le système des nombres a -\- a' et celui des nombres b -{- b' définiront donc un nombre réel, que nous appellerons c + c' .
De même, le système des nombres b — a' et celui des nombres a — b' définiront un nombre, que nous appellerons c — c' .
On a évidemment, d'après cette définition,
La soustraction est d'ailleurs l'opération inverse de l'addition, de telle sorte que le nombre (c — c') + c'=c< n'est autre que c. Pour le montrer, nous prouverons que tout nombre rationnel >> c est >> c<, et réciproquement.
Les nombres >> c sont ceux qui sont plus grands que l'un des nombres 6, les nombres >> C\ ceux qui sont plus grands que l'un des nombres b — a' H- b' .
Or, tout nombre x'^ b — a! -{- b' est a fortiori >> è, car b' > a'.
D'autre part, si ^ > c, on pourra déterminer entre x et c une infinité de nombres rationnels encore >> c. Soit X — £ = 6 l'un d'eux ; on aura
SI
l'on choisit a' et b' de telle sorte que b' — a' soit <; e.
5. Pour définir la multiplication et la division, nous supposerons d'abord c et c' positifs.
Soient a, a' des nombres fixes choisis d'avance arbitrairement parmi les nombres positifs contenus dans les systèmes A, A'; ^, j3' des nombres fixes (nécessairement positifs) choisis d'avance dans les systèmes B, B'; a^ b, a^b' des nombres positifs à choisir dans ces mêmes systèmes; on aura toujours
bb'>aa\ — >77-
Mais on peut choisir ces nombres de telle sorte que l'on ait
ù étant une quantité à déterminer ultérieurement.
Il est d'ailleurs permis de supposer, en outre, que a ei b sont contenus dans l'intervalle de a à j3, a' et b' dans l'intervalle de a' à [3'. En effet, a, par exemple, est sûrement <C j^- S'il est << a, on aura b — ol <^ b — a <Co. On pourrait donc substituer ol k a^ tout en maintenant l'inégalité demandée.
Cela posé, on aura
bb'— aa'< {a 4- è){a'-^è) — aa'
b a bb'—aa' ((3 + [3^)o H- aa' b'~~ a'b' ^ a' 2
Si donc on détermine o de manière à satisfaire à la fois aux inégalités
on aura
bb' — aa' < {P> -h ^' -\- i)è < e,
Le système des nombres aa' ^ joint à celui des nombres bb\ et le système des nombres -r-jt joint à celui des nombres —,
définissent donc deux nombres réels, que nous désignerons
, c respectivement par ce et — •
J^a division ainsi définie est l'inverse de la multiplication. Pour l'établir, il faut prouver l'identité des deux nombres
— c'= Ci et c, en montrant que les nombres rationnels supérieurs à l'un le sont à l'autre, et réciproquement.
Soit ûc un nombre > C|. Il sera, par définition, plus grand
qu'un des nombres —6', et, a fortiori, plus grand que le
nombre b] il sera donc >> c.
Réciproquement, si ^ > c, il existera un autre nombre rationnel x — s encore plus grand que c, c'est-à-dire plus grand qu'un nombre b. Or on peut déterminer, quel que soit 0, a' et b' de telle sorte que l'on ait b' <ia' -\- 5, d'où
b ,, , bd , 6a a' a' on!
Si l'on choisit ô moindre que — r-? on aura x'^ —b' . Donc
p Cl
X>Ct.
Pour étendre la définition de la multiplication et de la division au cas où l'un des deux facteurs, ou tous les deux, sont négatifs, on appliquera la règle des signes. Enfin on admet qu'un produit est nul, si l'un des facteurs est nul.
On voit, sans aucune difficulté, que les opérations ainsi généralisées, appliquées à des nombres rationnels, donnent les mêmes résultats que les opérations ordinaires, et que les règles du calcul algébrique subsistent sans aucun changement.
6. On nomme valeur absolue ou module d'un nombre réel c ce nombre lui-même, s'il est positif, le nombre — c, sic est négatif. Ce module se désigne souvent par la notation |c|.
On a évidemment
\a]\b\ = \ahl \a\-\h\-\c\ = \a±:b±c\ = \a\ + ]h\ + \c\.
7. Soient A, B deux systèmes de nombres réels tels : i" que tout nombre B soit plus grand que tout nombre A; 2° qu'on puisse toujours déterminer dans A et B deux nombres a et b tels que b — a soit >> £. Il existera un nombi^e réel unique c tel que l'on ait constamment
b^c'za.
Soient, en efl'et, A.' le système des nombres rationnels
inférieurs à l'un au moins des nombres A; B' le système des nombres rationnels supérieurs à l'un au moins des nombres B. Les nombres B' seront plus grands que les nombres .V.
D'autre part, déterminons dans A et B deux nombres a
et h tels que b — a << ^ • On peut déterminer deux nombres
rationnels comprenant a et dont la différence soit <! 5* Le plus petit o! de ces deux nombres appartient à A', et l'on a
On peut de même déterminer dans B' un nombre b tel que
y — h soit << -• On aura, par suite, o
Les systèmes A', B' étant formés de nombres rationnels déterminent un nombre réel c plus grand que tous les o! et moindre que les U . Ce nombre satisfait aux conditions requises. En effet, s'il était moindre qu'un nombre a de A, il existerait entre a et c des nombres rationnels o! plus grands que c, contrairement à la définition de c. S'il était plus grand qu'un nombre b de B, on arriverait à une contradiction analogue.
On voit d'ailleurs, comme au n° 2, que le nombre c est unique de son espèce.
8. Limites. — Soit x une quantité variable, à laquelle on donne successivement une suite illimitée de valeurs ^,, . . ., Xni On dit que la suite ^,, . . ., Xn^ • • -, ou, d'une manière plus abrégée, la variable x tend ou converge vers la limite c si, pour toute valeur de la quantité positive e, on peut assigner un entier v, tel que l'on ait
\x,,— c\<,z pour toutes les valeurs de n supérieures à v.
La variable x ne peut tendre à la fois vers deux limites différentes c et c'; car on a
d'où
\c' —c\WXn--c\ -f-|^„— C'|.
Donc, quel que soit /i, l'un au moins des deux modules
\xn—c\, \xn—c'\
sera au moins égal à ^ | c' — c\.
Il importe de transformer la définition précédente, de manière à pouvoir prouver l'existence d'une limite, lors même qu'on ne serait pas en mesure de la déterminer.
9. Théorîîme. — Pour que la suite ^,, . . ., Xn^ . . . tende vers une limite, il faut et il suffit qu'on puisse trouver une suite £,, ..., £//, ...de nombres positifs non croissants, ayant pour limite zéro, et tels que Von ait, pour toutes les valeurs des entiers positifs n et /?,
1° Supposons, en effet, que la suite ;r,, ..., x,t, ... tende vers une limite c. Soient 8, , . . ., S^^, . . . une suite de nombres positifs décroissants ayant zéro pour limite. On pourra, par hypothèse, déterminer pour chaque valeur de m un entier Vm tel que l'on ait constamment, dès que n est
et, par suite,
I ^ n ^n-hp I < I ^n ^ I "^ | ^n-hp ^ I < ^/n*
Si Ai^ Vi, mais /i -f-/? >> v,, on aura d'autre part
