I -^ii ^n+p I < I *^// ^ I ~f~ I ^n-^p <^ I < ^ ~i
e désignant la plus gran/le des quantités |^, — c|, ..., 1^,,.— cl.
Enfin, si n et n-\-p ne sont ni l'un ni l'autre >>v,, on aura
I '^n ^n-\-p I < I ^n ^ I '+" | -^ ii^p C\~ 9.6.
Définissons maintenant une suite de quantités positives £,, . . ., e„, . . . par les relations
£„= 2e-i-0i, si /^5Vl,
On aura constamment
D'ailleurs les quantités Zn forment une suite non croissante, et t,i tend vers zéro quand n tend vers co. Car on peut prendre m de telle sorte que hm soit moindre qu'une quantité quelconque s, et il suffira de prendre ensuite ai > v,„ pour être sûr d'avoir
2" Réciproquement, supposons qu'on ait pu déterminer une suite e,, ..., s,,, ... de nombres positifs ayant pour limite zéro, el tels que l'on ait, au moins pour les valeurs de n qui surpassent un nombre fixe m,
et proposons-nous de démontrer que la suite .r<, ...^Xn-, ... tend vers une limite.
Désignons par a^ la plus grande des quantités
par 6v la plus petite des quantités on aura évidemment
«v>«[X, ^v<^|x, si V > [l.
D'autre part, l'inégalité (i) peut s'écrire d'où
Supposons /z^v et changeons dans cette équation p en p -{-y — ^ ; elle devient
et, comme elle a lieu pour les valeurs ai = /?i -f- i , . . ., v, on en déduit
Plus généralement, ijl et v étant deux entiers positifs quelconques > /?2, et )v le plus grand des deux, on aura, par la combinaison des inégalités ci-dessus,
Donc, tout nombre b est plus grand que tout nombre a. Mais on a, d'autre part,
quantité qui peut être rendue -< £ en prenant v assez grand. Donc les deux systèmes de nombres a et b déterminent un nombre c. Ce nombre et le nombre x^j^p étant tous deux compris entre a^ et b^^ on aura
ce qui est précisément la condition pour que les quantités x convergent vers c,
10. Corollaire. — Si les quantités Xn sont telles que Von ait toujours
elles tendront vers une limite c ou croîtront de manière à surpasser finalement toute grandeur donnée E.
En effet, supposons en premier lieu que, pour toute valeur
de la quanlité positive o, on puisse déterminer un entier v tel que l'on ait constamment
quel que soit/?.
Donnons à 5 une suite de valeurs S,, Og, ... convergeant vers zéro; soient v,, Vo, ... les valeurs correspondantes de v. Soit, d'autre part, n un nombre ^va mais -<va^,. On aura
et, si l'on pose n -i- p =^y/f-{- q,
Si donc on définit les quantités £^^, . . ., s,,, ... par la condition
£« — ^k quand '^k<ri< Va-hi , on aura
Les quantités £,/, ainsi définies, convergeant vers zéro, les quantités x^ tendront vers une limite.
Supposons, au contraire, qu'il existe une quantité 8 pour laquelle il soit impossible de déterminer une quantité v correspondante. On pourra, quel que soit /i, déterminer un nombre n -\- p = /i, tel que x^^ — x,i soit au moins égal à 8. Nous pourrons donc déterminer une suite illimitée de nombres i , /i< , /^2, . . . , /^a, • . • tels que l'on ait
Xr,
ou
^nji > ^l ~^" f^ 0'
Ce nombre deviendra plus grand que le nombre donné E des que k sera supérieur a ^
11. Si la variable x tend vers la limite c, — x tend vers la limite — c.
VARIABLES RÉELLES. l3
Cette proposition est évidente; car on a
Si donc on a pour n >> v on aura en même temps
