De la définition de l'intégrale / f{z)dz par une

limite de somme résultent évidemment les propriétés suivantes :

i" Si la ligne L est formée de plusieurs parties successives L), Lo, ..., on aura

ff{z)dzz^ff{z)dz-^ff{z)dz-^,... •

^L ^Li ^Li

2" Si L et L~^ représentent la même ligne, décrite dans

deux sens opposés, on aura

f f(z)dz. = - f f(z)dz.

y Si /(5)=:Ci/,(^) + C2/2(-) + ..., c,, C2, ... étant des constantes, on aura

ff{z)dz=:C, f Mz)dz-^C, f ^L «^L «^L

Mz)c/z

4° Enfin, soient M le maximum de | /{z) \ sur la ligne L, et / la longueur de cette ligne ; on aura

p désignant le périmètre du polygone ZqZ^. . . z-k. - .', d'où, en passant à la limite

f f(z)dzUMt.

198. On remarquera que, dans les raisonnements qui précèdent, nous nous sommes a|)pujé uniquement sur la continuité des fonctions P et Q, sans faire aucun usage des équations aux dérivées partielles qui expriment que P + Q/ a une dérivée déterminée. Mais ces nouvelles conditions vont intervenir dans la démonstration du théorème suivant :

Théorème. — Soit, C un contour fermé continu et sans point multiple, et tel que tous les points non extérieurs à G soient intérieurs au domaine E. L'intégrale ff{z) dz prise suivant une ligne rectifiable fermée quelconque K intérieure à G sera identiquement nulle.

La fonction /(5) = P4- Q/, étant continue pour tous les points non extérieurs à G, qui forment un ensemble parfait, le sera uniformément dans cet ensemble.

Soient

les équations de la courbe K. Donnons à t une série de

valeurs successives ^07 •••, tk, •••; nous obtiendrons sur la

courbe une série de points correspondants ^o^ •••, ^a,

Supposons que les intervalles ^^f^, — th soient tous <^ S. En faisant décroître suffisamment cette quantité 8, on pourra faire en sorte :

i** Que les distances z^z-h^^ (qui tendent uniformément vers zéro avec 8) soient moindres que la plus courte distance de KàC, et, par suite, que le polygone inscrit P, qui a pour sommets 5o, ^i, • . ., z^^ . . ., soit intérieur à G;

2" Que la différence entre la somme

et sa limite / f[z)dz ait son module moindre qu'une quan-

tité £ choisie à volonté;

3** Enfin, que la différence entre cette somme et l'intégrale / f{z)dz^ prise sur le contour du polygone P, ait

aussi son module <C s.

Pour établir ce dernier point, qui seul a besoin de démonstration, considérons le terme

correspondant à l'élément z/(Zfç^^. Il est remplacé,' dans l'intégrale / f{z) dz^ par l'expression suivante, Jp

lim2/(^;.^,)(-/+i,/t— -i/c),

où z'-/^^ . . . sont des points de division infiniment voisins pris sur la droite ^a^a+i- Gomme on a

^k+l — ^k=^^{^'î+i,k — ^ik)i

la différence entre ces deux expressions sera la limite de la somme

dont le module est au plus égal à

l/f désignant la longueur du côté z^^i — z-k-, et M/( le maximum des modules des quantités /(y^^) — /{^k)-

Raisonnant de même sur chacun des côtés du polygone, et désignant par M le maximum des quantités M^ et par / la longueur de la courbe K, on aura pour limite supérieure du module de la différence cherchée

D'ailleurs, le point z'^^ étant situé sur la droite 3/f^/^^i, on aura

Donc les différences z'-j^ — Zk et, par suite, les quantités fi^'ik) — fi^'f^) tendent uniformément vers zéro avec o. On

peut donc, en prenant 8 assez petit, rendre M moindre que -•>

ce qui démontre notre proposition.

Si donc nous établissons que l'intégrale f/(z) dz est nulle pour tout polygone P, le théorème sera démontré, car le module de l'intégrale / /(^) dz étant <C 2s, quelque petit que soit £, sera rigoureusement nul.

199. Le contour polygonal P peut se traverser lui-même en certains points; le nombre de ces traversées sera limité et

, , 1 , nin — i) , , , , A , 1

au plus égal a ? n étant le nombre des cotes du polygone. Partons, dans ce cas, d'un point quelconque du contour pour le décrire dans le sens de l'intégration, jusqu'à ce qu'on traverse pour la première fois les parties déjà décrites. La portion de contour comprise entre ces deux passages au même point formera un contour partiel qui ne se traverse pas

lui-même. Si l'on suppose le théorème établi pour un semblable contour, on pourra négliger cette portion de la ligne d'intégration, et il ne restera plus qu'à faire la démonstration pour le contour restant, où le nombre des traversées est diminué.

On voit donc qu'il suffît d'établir notre proposition pour un contour polygonal qui ne se traverse pas lui-même. Or l'intérieur d'un semblable contour peut se décomposer en triangles. Supposons le théorème établi pour chacun de ces triangles; la somme des intégrales obtenues en faisant le tour de chacun de ces triangles, dans le sens direct, par exemple, sera nulle. Mais, les côtés de ces triangles qui ne font pas partie du contour P étant décrits deux fois en sens contraire, les intégrales correspondantes se détruisent deux à deux; et l'intégrale restante sera précisément celle qu'on obtient en décrivant le contour P.

Nous avons ainsi ramené la démonstration du théorème au cas où le contour K, au lieu d'être une courbe rectifiable quelconque, dont la notion est un peu confuse, se réduit à un triangle.

On peut même admettre que le triangle a un de ses côtés parallèle à l'axe des y, car tout triangle peut être décomposé en deux triangles de cette nature.