AP AQ
il laut que -r— , -r-^ tendent vers des limites.
^ Ax Ax
Donc P et Q doivent admettre des dérivées partielles
âP ôQ .,
-r—j -T-^> et 1 on aura
ox ox
du âP .ÔQ oz ox ox
l8o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
Changeons de même y en j + Ay, sans altérer les autres variables. On aura
^u Am AP + f AQ AQ — / AP
A^ i Ay i Ay ~ A r
Pour que cette expression tende vers la limite — ? lorsque
A . 1 ' ir AQ AP . 1 ,• .
Ay tend vers zéro, il tant que -r-^? -r— tendent vers des limites
-~) -r— ? et 1 on aura dy ây
du dQ .àP ôz ~ dy ''dy'
r» • 1 àll .. • 1 , , ,
Pour que cette expression de — coïncide avec la précédente, il faut qu'on ait
ôœ dy dy dx
Enfin, pour que — soit continue, il faut que sa partie
, 1, , . . ^. . , . v^ dP dO dP dq
réelle et sa partie imaginaire le soient. Donc -r— ? --^5 -r— ? --^
^ -^ dœ dœ dy dy
doivent être continues.
On obtient des résultats analogues pour les autres dérivées
. 1, dP dO
partielles -r — j •••, -—^5
^ dj^i dyi
192. Remarques. — i" Si l'on veut que P + Q; soit une fonction sjnectique de ^, 5,, . . ., aucune des deux fonctions P et Q ne pourra être choisie arbitrairement; car les deux premières équations (i), dérivées respectivement par rapport k X ei y el ajoutées ensemble, donnent
(PP^ d^
do)'- dy^
Dérivées par rapport à y et œ^ puis retranchées, elles
VARIABLES COMPLEXES. l8l
donnent
âœ- dy- On trouvera de même
2*^ Si l'on admet (ce qui a toujours lieu, comme on le
verra plus loin) que les dérivées secondes -t-^j -:: — t-j ••• ^ ^ ^ ax^ dx dy
existent et sont continues dans l'intérieur de E, -^— , - — , ...
seront encore des fonctions sjnectiques de ^, ^4,
En effet,
du dP .dQ dz dx dx
par exemple, admet des dérivées partielles continues
à du d2P . d'^Q
dx dz dx' dx'^ '
d du d^P . d^q
dy dz dx dy dx dy '
jd du d^P . d^q
dx, dz dx dx, dx dx, '
Il reste à montrer que ces dérivées partielles satisfont aux relations
dx^--
dx dy^
dx dy
d'Q dx^'
dx\-
dx, dy, '
d^Q dxf
Or celles-ci s'obtiennent immédiatement en dérivant les
équations ( i ) par rapport à ^, ^, ,
oo c- , d^u d^u 11.-/
o 01 nous représentons par -r^y -^--^ — y ••• les dérivées
uz u z et z.
l82 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
de -^ par rapport a ^, :;,,..., on aura
dz dzx dœ dûc^ dx dx
dx^ dx âxi dx âzi âz
4° Si nous supposons u indépendant de z^ on aura — - = o,
(Jz
si w = ^, -r- = I . Si donc, dans l'équation
du . du
— Az -\- -— dz dzi
du = ^- A-s + -^ A^i
qui définit du, nous posons u = z, il viendra dz = As. De même dzi = As, , . . . , et, par suite,
, du . du , du ^=z —- dz ->r -; — dz, 4- . . . . dz dzi
5° Les théorèmes du n" 75 et la règle plus générale du n" 88 pour la dérivation des fonctions composées s'appliquent sans changement aux fonctions synectiques de variables complexes.
193. Théorème. — Soit F(s, s,, . ..) une fonction synectique de
z = x-hiy, z^ — xi-h iyi, définie aux environs du point
et s annulant en ce point sans que sa dérivée partielle -j-
s'y annule.
On pourra déterminer une fonction synectique de ^,, ..., définie aux environs du point CÇij . . .),prenaritence point la valeur Ç et qui, substituée pour z dans V équation F(s, ^,, . . .) = o, /a rende identiquement satisfaite. Cette
fonction sera unique et admettra aux environs du point (^{^^ . .) les dérivées partielles
^ ÔF '
^F dz, dF
dz
dz
Soit, en effet,
F{z,z,,...)-=P^qi,
P et Q étant des fonctions de :r, y, x^, y^^ . . .. On a, par définition,
i dP dq dP __ dq
y dx dy dy dx
Le jacobien
dp
àQ
dP
àQ
dxi
àf, ' dy.
dx/
dP dP
dQ dQ dx dv
de P et Q par rapport à ^, j^ se réduira, en vertu de ces équations, à
dpy /dQy
dxj \dx J ce qui est le carré du module de la dérivée
d F dz
dP .dQ dx dx
Celle-ci ne s'annulant pas au point initial (?, v], 5m 'l m • • ')^ J ne s'y annulera pas. On pourra donc déterminer, et cela d'une seule manière, aux environs du point (Ç, , y), , . . .) deux fonctions réelles x, y des variables indépendantes Xt, yi, ..., satisfaisant identiquement aux équations P = o, Q = o (ou, ce qui revient au même, à l'équation F = o) et se réduisant
l84 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
respectivement à ^,-r\ au point (?,, yj, , ...). Les différentielles totales de ces fonctions seront données par les équations
^P ^ dP ^ dP , dP ,
-r- da^ -\- ^- dy -{- - — d^i 4- -r- <^Ki -4- . . . = o, ojc ay ^ oœ^ dV]^ "^ .
ou, en vertu des équations (4),
dP . dQ, âP ^ dQ ^
-d.--dy-^---^d.,--^^dy,-^... = o,
ÔQ, âP , ÔQ . dP ^
-~ dœ -\- —- dy ^ — ^ dx, -h -^ — dy. + ...=: o.
Ajoutons ces équations, après avoir multiplié la seconde par i; il viendra
OU
(J¥ ^ ôF ^
dz âzi
Cette relation montre que la quantité complexe z est bien une fonction synectique de s,, ... et a pour dérivées partielles les expressions (3). Elle satisfait d'ailleurs à l'équation F = o et se réduit à ç -|- iri au point (î^i , . . .).
[^e théorème que nous venons d'établir est entièrement semblable à celui démontré (91) pour les fonctions de variables réelles. Les conséquences déduites de ce dernier (92 à 95) subsistent évidemment aussi pour les fonctions synectiques de variables complexes.
194. Les conditions qui expriment que u = P -[- Qi est une fonction de z = x -+- iy sont susceptibles d'une interprétation géométrique remarquable.
VARIABLES COMPLEXES. l85
Marquons en effet, sur le plan, le point qui a pour affixe u =/(z). A chaque point :: correspond un point u ; à chaque ligne décrite par 3, une ligne décrite par u.
Considérons trois points z, ::; -f- A^, 2 -f- A, ^ formant un triangle infiniment petit, dont les côtés auront respectivement pour longueurs | A3 |, | A, 3 |, \^,^z — • A^ |.
Les points correspondants u, u -\- Aw, u -+- L^u formeront un autre triangle, dont les côtés auront pour longueurs
R, R,, p tendant vers zéro avec Aj, A, s.
Les rapports des côtés correspondants sont donc respectivement !/(..) + R|, |/(3) + RJ, \f'{z + ^z) + p\ et tendent vers la limite commune/'(3) lorsque As et A,^ tendent vers zéro. Les deux triangles tendent donc à devenir semblables.
Ce raisonnement serait toutefois en défaut pour les valeurs de z qui annuleraient /' (z).
IL — Intégrales des fonctions synectiques.
19o. Soit toujours
/(z) = P + iQ
une fonction de z, synectique à l'intérieur d'un domaine E, et soient
les équations d'une ligne rectifiable L menée dans l'intérieur de E entre deux points z^ et Z.
Les quantités P et Q étant des fonctions continues de x^ y^ qui, sur la ligne L, sont eux-mêmes des fonctions continues de ^, seront le long de cette ligne des fonctions continues de t. Représentons-les par V{t) et Q(^).
l86 PREMIÈRE PARTIE, — CHAPITRE II.
Entre les valeurs t^, T de ^ qui correspondent aux deux extrémités de L, intercalons une suite de valeurs intermédiaires^!, ..., th-t Entre deux valeurs consécutives^;^,
^/f+i prenons arbitrairement une valeur intermédiaire ta^. Désignons par s^, z^^^ , ^/f les valeurs de z qui correspondent
Gela posé, formons la somme
Si Von fait décroître indéfiniment V étendue de tous les intervalles A^/f= t^^^ — /^, la somme ci- dessus tendra vers une limite fixe, que nous appellerons V intégrale de f{z) dz suivant la ligne L, et que nous représenterons par
)dz.
Pour établir ce théorème fondamental, il suffit de montrer que, quelle que soit la quantité £, on pourra déterminer une quantité i\ telle que la différence entre deux sommes quelconques S et S' dans chacune desquelles les intervalles A^a sont <C 7) ait son module nécessairement << e.
Soient S, S' deux de ces sommes correspondant respectivement à deux systèmes de valeurs intermédiaires ..., ^/t, //t^,, . . . et . . ., ^J^, ^^^, , ... ; S" une troisième somme correspondant à un nouveau mode de division où figurent toutes les valeurs intermédiaires t et t\ On aura
il suffit donc de montrer que, si r^ est assez petit, le module de la différence S" — S sera < -> la même démonstration
s'appliquant à la différence analogue S" — S. Considérons un terme
de la somme S. Il est remplacé dans S" par une somme de te rm e s
où
La différence entre cette somme de termes et le terme primitif sera donc
(I) 2;|P(T^;,0-P(T.)-H^-[Qtà')-Q(T;t)]|(4'^i-4').
Cela posé, ta et t^' étant compris entre tk et ^a+i, leur différence sera <i'f\. D'ailleurs, les fonctions P et Q, étant continues, le sont uniformément. On pourra donc, en prenant ri assez petit, rendre toutes les quantités P(T)t) — P('^a)j Q(t^) — Q(ta) moindres en valeur absolue qu'une quantité arbitraire ^.
Gela posé, le module de la somme (i) sera moindre que
D'ailleurs | z'f^'+t — ^J^ | n'est autre chose que la distance rectiligne des points z'f^'^i et z'f^'. Donc S | ^J^/^, — z'^^ \ représente le périmètre du polygone formé avec les points 5^, ... et sera au plus égal à l'arc de courbe compris entre Zk et Zk+f Opérant de même sur chacun des termes de la somme S et sur les termes correspondants de S'', on aura
/ désignant la longueur de l'arc total. En prenant ^ assez
petit, on pourra rendre cette différence moindre que - •
196. Supposons, en outre, que les fonctions 'f(^), ^{0 admettent une dérivée continue. Le calcul de l'intégrale dont l'existence vient d'être établie se ramènera à celui d'intégrales réelles.
Il s'agit, en effet, de trouver la limite de la somme
2(P4-Q0(A^-+-/Ay)— >:(PA^ — QA/)-i-t2(QA^-4-PA/).
l88 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
Or on a, d'après les hypothèses faites sur les fonctions cp
et 6,
R et R' convergeant uniformément vers zéro avec A^, dans l'intervalle de ^o à T.
On aura donc
2(P A^ — Q Aj) = 2:[P(p'(0 — Q'i^'CO] ^^-i-^(PR — QR') A^.
Le second terme de cette expression tend vers zéro avec les intervalles A^. En effet, soient M une limite supérieure des modules des fonctions P et Q sur la ligne L ; yj le maximum des modules des quantités R, R'; on aura
mod>;(PR — QR') A^ = 2My)2A^ = 2Myj(T — ^o).
Or, lorsque les A^ décroissent indéfiniment, les R, R' tendent uniformément vers zéro; donc r\ tend vers zéro. On aura donc
linil(PA^ — QAr) = limi[Po'(0 — Q+'(0]A^
=y' [P9'(0-Qy(0]^^.
De même
:S(QA^-t-PA/)=r r iqo'{t) + V'\>'{t)']dt,
