BC

sera égale à ' \V[b, a' ^ t{b — a)]-^ iq[b, a' -^ t{b — a)'\ \i{b — a)dt

et sa dérivée, par rapport à sa limite supérieure m, sera

F[b,a'-^m{b — a)] -^ iQ[b, a' ^ m{b — a)] i{b — a) . ^if{C){b-a).

Cherchons, d'autre part, la dérivée de la troisième inté- J. - I. i3

igd PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.

grale prise suivant le côté CA. On a, sur cette ligne,

t étant réel et variant àe b k a. Substituant ces valeurs dans /{:•), on obtiendra un résultat de la forme

(2) f{z)=zP{a:,y)-^iqiœ,y)=F,{t,m)^iQ,{t,m),

et, comme

dz = dx -h i ^j = ( I 4- mi) dt,

l'intégrale chercbée deviendra

/ [ Pi ( ^, m ) H- / Qi ( ^, m )] ( 14- mi) dt,

expression où l'on séparerait sans peine la partie réelle de la partie imaginaire.

Sa dérivée par rapport à m sera

Or on a, par hypothèse,

./âP •^Q\^ -^ \âj:^ ôx J dy ây ^

et, d'autre part, en dérivant l'équation (2) par rapport aux variables indépendantes ^, m dont x et y sont des fonctions,

^P .ÔQ fdP .dQ\ âP^ .dO,

âa: dx \ ôy dy ) dt dt

JdP .dQ\ dP, .dQ,

La combinaison de ces équations donne

Substituant cette valeur dans l'intégrale (3), elle devient

= ^f jf^ [{t-a){\\ 4- Q,0] dt =. /[(^ a) (P, + Q, 0]^

Cette dérivée étant égale et contraire à celle de l'intégrale suivant BG, on voit que l'intégrale ff{z)dz^ prise autour du triangle, est une constante indépendante de m.

Or, si m = mo, l'intégrale suivant BC disparaît, et les intégrales suivant AB et C\ sont égales et contraires. Donc la constante est nulle et le théorème est établi.

201. GoiiOLLAuiE. — Soient L, L, deux lignes arbitrairement tracées dans l^ intérieur de G entre deux points fixes Zq et Z. On aura

J f{z)dz=f f{z)dz.

Gar, la ligne L<L~* étant fermée, on aura, d'après ce qui précède,

'^L.L-' ^Li «^L-» ^L, «^L

L'intégrale ne dépend donc pas du tracé de la ligne L, mais seulement de la position de ses extrémités. On peut mettre ce fait en évidence en la représentant par la notation

f f(z)dz.

i202. Dans l'intérieur de G, cette expression représente une fonction sjnectique de Z, ayant pour dérivée f{z).

Gherchons, en effet, son accroissement lorsqu'on change Z en Z H- dTj.

Soit L la ligne d'intégration suivie de ^o à Z. On peut

adopter comme ligne d'intégration de ^o à Z -f- «?Z la ligne L, suivie de la droite infiniment petite qui joint Z à Z + ^/Z. On aura alors

,Z + rfZ

j f{z)dz-J /{z)dz

XZ + rfZ "' ^Z + dZ ^Z+dZ

f{z) dz=^f{Z) dz+ [/(=)-/(Z)] dz.

Le premier terme est évidemment égal di f{7^) dL. Le second a pour limite supérieure de son module M | dh |, M étant le maximum de | j\z) — /(^j I sur la ligne d'intégration. Or I ^ — Z I est ^ I dL I, et y(^) est continue. Si donc dL tend vers zéro, il en sera de même de M; on aura donc

,Z + dZ ^ z

[/(Z) + R]rfZ,

R étant un infiniment petit.

On voit par là qu'il existe des fonctions synectiques ayant y*(Z) pour dérivée et définies dans le même domaine que celle-ci; elles auront pour formule générale

^{Z)=f f{z)dz-\-c,

c désignant une constante.

L'une de ces fonctions ê{L) étant donnée, on obtiendra la valeur correspondante de c en faisant Z = ^q- H vient

On aura, par suite, comme au n° 82, ^z

(4) / f{z)dz^:^^{Z)-§{z,),

Comme on a évidemment z

f fiz)dz = -f"/iz)dz,

l'intégrale, considérée comme fonction de ^05 aura pour dérivée — f{Zo).

203. Les règles pour la dérivation des intégrales définies et pour l'intégration par parties (n"^ 83 et 84) s'appliquent évidemment aux intégrales que nous considérons en ce moment.

204. Le changement de la variable indépendante peut s'opérer comme il suit :

Soit z = (D (t) une fonction de t, synectique à l'intérieur d'un domaine E,. Lorsque t se meut à l'intérieur de E,, z se mouvra dans un domaine correspondant E.

Supposons en particulier que t décrive un arc L, de ligne rectifiable ; z décrira une ligne correspondante L, et ses variations seront liées à celles de t par la relation

o' t restant continue, et R tendant uniformément vers zéro avec A^ ; car les points de L| forment un ensemble borné et parfait; on pourra donc assigner une quantité yj telle que, si |A^|<;y^, |R| devienne moindre qu'une quantité £ arbitrairement choisie, quelle que soit la position du point t sur L, . D'autre part, le long de cette ligne, | o' (^) | admettra un maximum ^.

Soit Iq^ ..., ^yt, ••., T une suite de points pris sur L,, de telle sorte que les différences A^a= t/(^i — tf( aient leurs modules moindres que r, ; et soient Zq, ..., z^, - .., 7j les points correspondants de L; on aura

d'où

donc les A^^ tendront uniformément vers zéro avec les Al/,. Enfin la ligne L sera rectifiable et aura une longueur

/=ilim2| As/, l^lim (|j. + g) 2 A//,^ /jl/,, /< désignant la longueur de L,.

igS PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.

Cela posé, soit/(3) une fonction de^, sjnectique clans £, ; on aura

Faisons rendre tj et s vers zéro. Les A^^ et les àzk tendant vers zéro, le premier membre aura pour limite

et le second

f{ot)o'tdt-^Vuulf{ot,)R,.At„

Or, si l'on désigne par M le maximum de \f\ sur la ligne d'intégration, le second terme aura son module moindre que Ms/i. 11 tend donc vers zéro, et Ton aura

(5) ff{z)dzz= f f{ot)(^'t.dt.

205. Théorème. — Soient C,, G2, ..., G,, {/ig- 2) des contours fermés rectifiables et sans points multiples, extérieurs les uns aux autres, et tous intérieurs à un dernier contour Cq de même nature.

Soit, d^ autre part, fz une fonction de z synectique dans un domaine E contenant dans son intérieur toute la région R du plan bornée par les contours Co, C,, . . . ,

VARIABLES COMPLEXES. fQQ

C,i, y compris ces contours eux-mêmes ; oji aura f fzdz = ffzdz + . . . 4- ffzdz,

les intégrales étant prises dans le même sens, par exemple dans le sens direct, autour de ces divers contours.

Nous supposerons nr= i dans la démonstration.

Joignons les contours Gq, G,, Go par des lignes rectifîables L, Li, L2 sans points multiples et ne se rencontrant pas mutuellement {Jig. 2). La région R se trouvera divisée en deux régions partielles Ri , R2 , limitées chacune par un seul contour fermé dans tout l'intérieur duquel /.zj est synectique.

L'intégrale / fzdz prise dans le sens direct le long de

chacun de ces contours frontières sera donc nulle (198). Ajoutant les résultats obtenus pour les deux régions, on remarque :

i^ Que, chacune des lignes L, L, , L2 ayant été décrite une fois dans chaque sens, les intégrales correspondantes se détruisent ;

2" Que les deux moitiés du contour Gq ont été décrites chacune dans le sens direct ; la somme des intégrales obtenues sera donc

ffzdz-

3° Que les deux moitiés de chacun des contours G,, Gj ont été décrites dans le sens rétrog:rade. Si donc nous dé-

signons par / fzdz., 1 fz dz les valeurs des intégrales prises

»^Ci «^Ca

en décrivant G, et G2 dans le sens direct, les intégrales obtenues seront — \ fz dz., — \ f^ ^^- ^o^s avons donc at final

Ç fzdz — f fzdz — f fzdz = o

comme résultat final

206. Théorème. — Soit fz une fonction synectique à l' intérieur d^un domaine E ; soit K un contour (^rectifiable, fermé et sans point multiple) situé dans V intérieur de E; on aura, pour tout point a intérieur à K,

i rfzdz

fa — : / -^

Soit, en effet, c un cercle de rayon infiniment petit /• décrit du point a comme centre ; on aura, d'après le théorème précédent,

Le dernier terme tend vers zéro avec /•. Soit, en effet, M le maximum de \fz — fa\ sur le cercle c; \z — a\ étant égal à /' sur ce même cercle, le module de l'intégrale ne pourra

surpasser — 2 7Z/- = 2 ttM. Or, à cause de la continuité de

y (s), M tend vers zéro avec r.

D'autre part, on a sur le cercle

z =: a -h r { ces cp + « sin cp ) , ' dz-=ir ( — sinç -h fCoscp)<^cp ^=z{z — a) ido^

o étant réel et variant de o à 2 7r. On aura donc