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r dz r.^

Je --'' Jo

207. L'équation (6), dérivée par rapport au paramètre a, donnera les suivantes :

y 2niJ^{z — aY

/ , i.2...n r fz ,

Les intégrales qui figurent au premier membre sont des fonctions de a finies et déterminées. Les dérivées successives de la fonction /' sont donc sjnectiques, comme f elle-même, dans tout l'intérieur de K.

Soient

r la plus courte distance du point a au contour K ; M le maximum de \fz\ sur ce contour ; / sa longueur.

On aura, sur tout ce contour,

\z-a\lr

et, par suite,

et, en particulier, si K est un cercle ayant a pour centre, d'où / ^=. 27r/',

(8) ' \ra\tl^l^^.

208. Les résultats précédents s'étendent immédiatement aux fonctions de plusieurs variables.

Soit, par exemple, y (5, z^) une fonction des deux variables complexes ^, z^^ qui reste synectique tant que ^, Z\ restent dans l'intérieur de domaines E, £<. Soient K, K, deux contours fermés (rectifiables et sans point multiple), intérieurs respectivement à E et à E, ; a, «, désignant deux points quelconques pris dans l'intérieur de ces contours, on aura

d'où

et, en dérivant m fois par rapport à a et m^ fois par rapporl àa,,

^'«+'«./(«,«i) i.2...m.i.2...m, r\ r f{z,z,)dz,

^«'" da'!;^

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)'"+*(si— nri)'">

Les dérivées partielles seront donc synectiques, et, si l'on désigne par M le maximum de |/(^, ^i) [ pour tous les systèmes de valeurs de s, ^, respectivement situées sur les contours K, K|, par /*, /*< les distances de ces contours aux points a, a^^ par /, /, leurs longueurs, on aura