Exemples. — i" Soit à déterminer la vraie valeur de

- ^ ni

m j pour ni = 30.

Cette expression est, par définition, égale à

/«log(l + — ) w( 2^711 -I- — — - — „-f-... )

k étant un entier qui dépend de la branche de logarithme que l'on aura choisie.

Le dernier facteur tend évidemment vers e^ = i . Si donc on choisit Ja branche pour laquelle k = o, d'où e'"^^'^^= 1, on aura une vraie valeur, égale à e~ .

Pour les autres branches du logarithme, la vraie valeur

sera entièrement indéterminée, tant que m ne sera assujetti

qu'à la seule condition de tendre vers 00. En effet, soit ia une

, -1, 2 «7: /-h \^o^u. quantité quelconque; si 1 on pose m = j — : -y n étant

un entier qui tend vers 00, m tendra également vers 00, et

2" Cherchons la vraie valeur de

mys/z — i) pour 711 = X.

Cette expression est, par définition, égale à

==,og. + li5!^4-....

Sa vraie valeur est loge.

3" Cherchons enfin la vraie valeur de ;" pour ^ = o. On a

La vraie valeur sera donc e'', en désignant par ç la vraie valeur de z logs.

Or, soient p le module et cp l'argument de z] on aura

clog3 = Z ( Logp H- i(D).

J^e premier terme z Logp a pour module d Logo. Lorsque o tend vers zéro, Logp tend vers — 00, mais moins ra[)idement; donc p Logp tend vers zéro.

Le second terme zi'^ a pour module pcp, qui peut prentlre une suite de valeurs quelconques lorsque p tend vers zéro, à condition de choisir convenablement les valeurs correspondantes de cp. La vraie valeur est donc indéterminée, tant qu'on ne précisera rien sur la manière dont o varie.

Mais, si cet argument est astreint à rester compris entre deux nombres fixes (en particulier, si z reste réel), pcp tendra vers zéro. Donc on aura

ç =z\imzlo^z =:o, Vim z^ =: e^ =z i .

283. La vraie valeur d'une fonction de plusieurs variables est généralement indéterminée.