D ( OC V

Considérons, par exemple, la fonction 7 '-^' Supposons

que cp et h s'annulent pour x :=^ a^ y =: b^ mais que leurs dérivées partielles ne s'annulent pas. La vraie valeur serait la limite du rapport

(^{a -\- h, b -h k) âa db

d^^-^db^^^ ou

âa db

da db

On voit qu'elle dépend du rapport variable t» à moins que

l'on n'ait

d<^ do da db

da db

IIL — Séries et produits infinis à termes numériques.

284. Soit U{^ U2, • • -, Urn ' • • une suite indéfinie de quantités. Ainsi que nous l'avons déjà indiqué, si les sommes successives

S,i= W.-h «2 + . . .4- llny

tendent vers une limite finie 5, on dit que la série infinie

S =: Wi + i/2 -h . . . 4- U,i -^. . .^lUn,

est convergente et a pour somme s.

Dans le cas contraire, la série est divergente.

28o. La divergence peut se manifester de plusieurs manières :

i" Les sommes St, ..., Sn, ... peuvent tendre vers 00. Ce mode de divergence est le seul qui puisse se présenter si les quantités Ui, ..., Un, ... sont réelles et positives, car alors les quantités s^, ..., 5«, ... sont positives et forment une suite croissante (10).

2" Les sommes 5i, ..., Sn ne tendent vers aucune limite finie ou infinie.

Ce cas se présenterait, par exemple, pour la série

I — i-hi — [ -h

286. Lorsqu'on peut trouver l'expression générale des sommes s^ on devra la discuter pour s'assurer si pour n = co elle tend vers une limite finie et déterminer celle-ci.

Considérons, par exemple, la progression géométrique

a -h ar -\-. . .-\- ar'^ -^ . . .■=z lar"^. On a

Si I /• I <; 1 , I r\"- et, par suite, r" tendra vers zéro. La série

est donc convergente et a pour somme

Si I /'l^i, s est, au contraire, divergente; car, pour qu'elle convergeât, il faudrait qu'on eût

o = lim (.ç„+i — 5„ ) = lim ar",

ce qui n'a pas lieu ; car on a

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