On donne le nom à^ intégrale eulérienne de se

conde espèce à Fintégrale définie

On doit supposer n positif; car si n était égal au nombre négatif — p^ l'intégrale considérée aurait une valeur infinie. En effet, on a, a étant compris entre o et I,

or, poura = o, -1- est infini : l'intégrale \ x ^ ^e ""dx

G '^ Jo

est donc infinie, et il en est de mémo, à forliori^ de l'in- ' x'P'^e'^'dx.

461. L'intégrale T [n ~i- i) peut se ramener à r(rt). En intégrant par parties, on a

Uîx.

Or, x^e'"" s'annule pour x = o, et aussi pour x = oo En effet, puisque

TIIEWTE-HUITIÈME LEÇON. l3

on a, quel que soit /,

par conséquent

Or, quand on prend ?'^/i, ce qui est évidemment permis, le second membre devient infini pour .r =. oc . Donc le produit x~'^e^ devient aussi infini, et par conséquent son inverse x''e~'' devient nul pour a: = co .

D'après cela, si Ton intègre entre les limites o et oo , on aura

(2) V{n^i)^nV[n),