ÉQUATION DE LA CORDE VIBRANTE

694. On démontre en Mécanique que le mouvement des différents points d'une corde vibrante, fixée à ses deux extrémités, est représenté par Téquation aux dérivées partielles du second ordre

MP =^ u^ AP = X sont les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la corde, l'origine étant prise à rexlréiniié A 5 et j^ désigne le temps.

Pour intégrer l'équation (i), prenons deux nouvelles variables a et ê, liées aux variables :r et^ par les équations ( 2 ) a.z=zx -{- ay, 6 = .r — ny.

Si de ces équations on tirai l les valeurs de x et dej>^ en « et ê, et qu'on les portât dans la fonction clierchée w,

2l6 COURS d'analyse.

cette dernière dcviondrait une fonction expliciîfi de « et de o. On peut donc considérer ii coQime une fonction de a et de ê. On aura alors, à cause des équations ( 2),

du du du

dx r/a r/Ç

d.x^ dj} da.do do-

On trouvera de même

dy ^ \do^' ^ da.d^ rfS^

En portant ces valeurs dans l'équation (i), on aurn, après les réductions,

Celte équation est facile à intégrer. Elle peut s'écrire du

dcA

ne dfinpnd r^as r €/6

donc — ne dépend pas de a, et l'on a

du

u désignant une fonction arbitraire. On en déduit 11=: j o (ê)<^/g 4- 9 (a) ,

et, par conséquent, en représentant par ^ (6) l'intégrale / cj(o)<:/to, ^ désignant encore une fonction arbitraire, on aura

c'est-à-dire

(4 ) u =z <f {.V -{- af) -{- -^ {.X — aj).

Telle est l'intégrale générale de l'équation (i) j on peut

CI^QUA]yTE-TROISlkME LEÇON. 2 1^ *

d'ailleurs la vérifier par la différenliation. On trouve

-—. ^ r," [x -^ aj) -\- -^ [x — aj),

~ = «^[/\'.r H- ny) + f (^ - aj)].

On a donc bien

d^u ^ d'il

695. L'intégrale générale contient deux fonctions arbitraires c^ et ip qui se déterminent par deux conditions distinctes. Ordinairement on supposeconnucs l'ordonnées

et sa dérivée — - pour tous les points de la corde, à l'origine du temps, c'est-à-dire pourj^=: o. Alors l'ordonnée, h, et la vitesse verticale -— de chaque point sont des fonctions données de x. Posons

du u—f{x), — r=/{.r), pour j==o.

On aura, en faisant j^^o dans l'équation (4), et dans sa dérivée, par rapport àj ,

De cette dernière on déduit

F (.r) étant une fonction connue, et C une constante arbitraire. Par conséqu(*nt on a

2i8 eouRS d'aivalyse.

d'où

La valeur de u est complètement déterminée. Comme on devait s'y attendre, la constante C, introduite dans le cours du calcul, a disparu d'elle-même.

Note. — Quand deux quantités a et a sont fonctions Tune de l'aulre, leurs dérivées partielles sont porportionnclles 5 car de

on tire

da de ■

do: da , . de/.

da ^ da dy. ^ da 1r''~d^''^7û-''d^'

ce qui i

revient à

dy. da dy. da d^d^~'d^'d^~^'

comme on l'a écrit n" 691, p. 21 3. x

Réciproquement, quand les dérivées partielles de deux quantités sont proportionnelles, leurs diiïercnti elles totales sont aussi proportionnelles. Donc ces quantités sont, en même temps, variables ou constantes. Donc l'une d'elles est fonction de l'autre.

EXERCICE

\. Discute?^ la surface j'cpréscntéc par Inéquation

[ajx + b {.v'-\- z')Y = b' IV X' + b-" (R^ - a^) z\

Solution : Surface engendrée par une droite assujettie à rencontrer une droite donnée et deux circonférences données.

CINQUAINTE-QUATRIÈME LEÇON.