Soii (i) /(•^,J,^) = o

l'équation d'une surface. Posons, pour abréger,

~cLv

'dx^'

dx dy

dz

'dy

Considérons une certaine courbe CL passant par un

point M(.r, j^ z) de la surface (i). Soit Q l'angle que le raj^on de courbure Pt de cette courbe au point M, dirigé suivant la droite MN, fait avec la normale MP à la surface, au même point.

La normale MP ayant pour équations

fait avec les axes des angles dont les cosinus sont respectivement

La droite MN fait avec les axes des angles qui ont pour cosinus (I. 292)

d.r dy dz

^-77' I^-TT' R-rr'

dl dl dl

en désignant par dl la différentielle de l'arc de courbe. On aura donc

Or, d'où

/ ,lx dy dz\

dz =pd.r -+- qdf, dz dx dy dx , dy

Mais

dp = rdx -h s df, dq =: s dx -\- tdy ; donc

dz dx dy dx dy

dz dx dy '

^ 'di 'dl ^ ~di fdxY dx dy / dyY

-iîr-''-dr~''^â-'=^'[Tt)+^'TiTi+'\-ûi)'

On a, par conséquent,

dx dy ( ^^y\^

'di~di~^^ \dïj

dl

cosôr=R

d'où

(3j R:^ v/.+//' + ?'cos9

dx\^ dx dy

dl / dl dl

Mais -" î — sont les cosinus des angles que la langenle a

la courbe considérée fait avec l'axe des x et celui des y^ en désignant ces angles par a et ê, on aura

/• cos^ y. ~\- is cos a cos § -f- / cos' ?

formule qui donne le rayon de courbure d'une section quelconque faite dans une surface, en un point donné.

697. La valeur de R devant être positive, il faut que cos 5 soit de même signe que le dénominateur. Ainsi, l'angle 0 doit être aigu ou obtus selon que ce dénominateur est positif ou négatif, ce qui détermine dans quel sens le rayon de courbure doit être porté sur la direction de la normale principale.