I .3.5. . . (O.W — l) TT

^ L ix- -h a )"-*-' 2. 4-. 6... 2/? ii-h-

/»CC j

Jo «

Si l'on différentie les deux membres de cette égalité « — i fois de suite par rapport à «, on aura

c—"^x'^-^dx = 1 . 2 . 3 . . . ( rt — I ) a", o

TRENTE-HUITIÈME LEÇON. l5

OU bien

^ ^ Jo

465. Ce dernier résultat subsiste quand on remplace la quantité réelle a par l'expression imaginaire a -{- ^ ^ — i , dans laquelle la partie réelle a est positive.

En elYet, on a

I ^,(„+6^,jx J^ -I- C

— (r-'"'{cosbx — ^/ — I sin^x'

a -\- b y/— I et, par conséquent,

Si maintenant on différentie celte égalité n — i fois par rapport à «, on aura

^'0 {a-\-b^—if

ce qui est la dernière formule du n*' 464 étendue au cas plus général où a représente une expression imaginaire

466. Cette formule fournira d'autres intégrales, au moyen de la séparation des quantités réelles et des imaginaires. Posons

a -{- b sj— i =■- p (ces 9 H- ^— i sin 9),

c'est-à-dire

P = \/a'-{- b-, 00s 9= ? sm 9 rrr: :

Téquation (3) devient

Jç-ax cosbx — \J — I sin bx ) :r"- ' tte o

=^ cos/z9 — i/ — isin/zO),

i5 COURS d'aivalyse.

équation qui se partage en deux autres :

^,-ax^.n—i si,^ ^^ fij^ -— f sin n 0,

Notre démonstration suppose que Ji est un nombre entier; mais ces formules subsistent quel que soit ii.

INTÉGHALES DÉDUITES d'aUTRES INIÉGRALES, AU MOYEN DE

l'intégration sous le signe.

467. L'intégration des intégrales définies, par rapport aux constantes qu^elles renferment, fournit encore de nouvelles intégrales. Soit, par exemple, l'intégrale

Jo ' ' ^''-^^^

e~"'' cosùxdr

qui se déduit de la dernière formule (^66) en faisant n = i. Il en résulte, c étant une constante moindre que «,

Je Jo Je ^'-^^'

Mais (4o5),

da l c "^ cos bx d.x := j dx j e-"^ cosbxr'a

ex ^ — «X

ces Ox dx \

d'un autre côté,

ada I «--I- h"^