Équation différentielle des lignes de courbure, — Soit
(l) z—- h— Tî «>^>0,
la lb
l'équation d'un paraboloïde elliptique. On a, dans cet exemple,
L'équation générale (719)
(i -f- p^) dx -h pqdy (H- 7^) dy + pgdx rdx -f- sdy sdx H- tdy
devient
ou, en ordonnant,
xy dy'^ l \ I x"^ y^\ ^{ï ^J
ab'^ dx- \b a a^ b ab'^ j dx a- b et, multipliant par ^>
; j__ y-dy^ . /l 1 ^ f? Z.L\ L Z^
\ ab^ X? dx'^ \b a ' a' b ab' j x^ xdx
c'est l'eqnation différentielle des lignes de courbure du
paraboloïde elliptique.
Intégration de V équation (3). — Si Fou fait X' = p*, j' = u^ cette équation devient
Comme u et p* n'entrent qu'à la première puissance,
on peut y satisfaire en substituant à u une fonction
linéaire de ^. Posons
du u zzz cv -^ c y d ou — = r. cli>
En remplaçant a et — par cv -\- c/ et c dans Téqua-
tion (4)7 les termes qui multiplient v^ se détruisent, et il reste
\^ « al)')^ a' b ^^
d'où
, ah [a — lAc b -f- ne
La constante c reste donc arbitraire, et comme Tintégrale ne doit en déterminer qu'une, il en résulte que u^= cv -\- c', ou
ah [a — /;) c
est l'intégrale générale de l'équation (3). En faisant varier c, on aura les projections sur le plan des xj de toutes les lignes de courbure. Ces projections sont des ellipses si l'on a c<^o, des hyperboles quand c est ^o. Elles ont toutes leur centre à l'origine.
Détermination de la constante c, — Si l'on veut avoir les lignes de courbure qui passent par un point [x\f', z') de la surface, on déterminera c par l'équation
nh (a — h)c
CIKQUANTE-SIXIÈME LEÇON. 1 .\()
OU
(G) a.z''c- -\~ [bx'"^ — ay'^-^ ah [a — h')\c — hy"^ -:=: o.
On en tire deux valeurs de c réelles et de signes contraires, puisque a el h sont de même signe. Ces deux racines étant désignées par ni et — aï, les projections des lignes de courbure seront représentées par les équations
, ^ , , abia — b)m
ab{a — b\n
an
La première courbe est une hyperbole, la seconde une ellipse.
Discussion. — La constante m peut varier de o à l'in»
fini, mais la constante n doit être plus grande que ? cl
ne peut varier que de- à l'infini. En effet, l'équation (8)
étant mise sous la forme
ah' n — b] n
an
le second membre doit être positif: donc, puisque a est
^ ^, il faut que l'on ait an — h^ o, ou Ji > -•
Examinons main tenant les hyperboles représentées par l'équation (7). A cause de Thypothèse a'^b, elles ont, toutes, leur axe réel dirigé suivant l'axe desj^. La valeur du demi-axe transverse est
ah {a — h) m
ou bien
/ah [a ~ h)
Si m varie de o à l'infinî, cet axe augmente de o à
\j b [a — b). En mettant l'équation (7) sous la forme
.r' __ , , nh(n — h)
on voit que pour m = <^ elle se réduit à x = o. L'hyperbole se confond alors avec l'axe des 7, ou plutôt avec la portion de l'axe des j^ qui commence à une distance de l'origine égale à dz sjb [a — b).
Les ellipses représentées par l'équation (8) ont leurs axes dirigés suivant les axes des x et àesj.
Les demi-axes ont pour expressions
lab{a~'h) Jnh[a — h)
Le premier, dirigé suivant l'axe des x^ diminue de l'infini à o, quand n augmente de - à Tinfini. L'autre demi-
axe diminue de l'infini jusqu'à s^b [a — b). Donc, tout point situé sur l'axe des j- et à une distance de l'origine plus grande que \[b [a — b) sera le sommet d'une de ces ellipses. Pour n = co l'ellipse se réduit à l'axe des jr, comme le montre l'équation (8) mise sous la forme
r^ ab(a
n an — b
cela résulte encore de ce que l'autre axe se réduit alors à o.
Si x' == o, une des valeurs de c est infinie, et l'autre est positive ou négative suivant que j^' est inférieur ou supérieur à \Jb (a — b). Les projections des lignes de courbure sont alors l'axe des y, et des hyperboles ou des ellipses, selon quej^' est plus petit ou plus grand que \/b (a — ~b'j,
Sijy'=: o, une des valeurs de c est nulle, et l'autre toujours négative. Dans ce cas, les lignes de courbure ont pour projections l'axe des x et des ellipses.
CINQUAJSTE-SIXIEME LEÇON. 231
EXERCICES
1 . Trouver les lignes de courbure de Pellipsoïdc» Solution : Soi t
l'ellipsoïde donné, n'y b^ c. Les projections des lignes de courbure sur le plan des xy sont, pour l'un des systèmes, des ellipses
X et Y étant les coordonnées d'un point de l'hyperbole
et, pour le second système, des hyperboles
dont les demi-axes sont les coordonnées d'un point de l'ellipse ^, , a:^{a'-b')^, h'{a'-b')
Sur le plan du grand axe et du petit axe les projections des deux systèmes de lignes de courbure sont des ellipses.
2. Lorsque trois surfaces se coupent orthogonalement, l'intersection de deux quelconques d'entre elles est une ligne de courbure de l'une et de l'autre.
3. Lorsque deux surfaces se coupent suivant une ligne de courbure commune à l'une et à l'autre, elles se coupent sous le même angle en tous les points de cette ligne.
