CALCUL DES DIFFÉRENCES FINIES. - CALCUL INVERSE DES DIFFÉRENCES

Notions préliminaires. — DiiTérence n'"'"^ du premier terme d'une suite, en fonction des termes de cette suite. — Terme {général d'une suite, en fonction du premier et de ses différences successives. — Différences des fonctions entières. — Différences de quelques fonctions fractionnaires, ou transcendantes. — Théorèmes {généraux. — Intégration de quelques fonctions.

NOTIONS PnÉLTMTNAlRES.

727, Le biU général dii calcul diiréienlîel est de chercher les limites des rapports des accroissements simultanés de plusieurs quantités variables, ce que Ton peut faire sans considérer les valeurs numériques de ces accroissements. Dans le calcul aux r/ifféren ces Ji nies, on s'occupe, au contraire, de ces valeurs numériques et on en clierclie la loi.

Soient

une suite de valeurs successives que reçoit une quantité variable. Si Ton retranche chacune de ces valeurs de celle (|ui la suit, on obtient ce qu'on appelle les différences premières de ces valeurs, et on les représente par

A«o> '^«ij A «2,..., Aw„,...,

en sorte que Ton a

/^, — «„ = AWo, «2 — «1 = A//,,. . . , //„.^, — f/„ 1= Am„,

En opérant de la même manière sur la suite des différences premières, on obtient une suite de différences secondes, qu'on représente par

ClNQUAKïE-SEPTIÈME LEÇON. i53

On a donc, par définition,

On formera de la même manière les dilï'érences troisiènies, quatrièmes, etc.

Par exemple, la suite des carrés des nombres entiers

a pour différences premières

et pour différences secondes

les différences troisièmes et, par suite, les différences d'un ordre supérieur, sont nulles.

Dans cet exemple, toutes les différences secondes sont égales à 2. Si l'on admet la généralité de cette loi, on pourra prolonger indéfiniment la suite des différences premières, et, par leur moyen, celle des nombres carrés.

728. Le calcul des différences est fondé sur quelques principes analogues à ceux qui forment la base du calcul différentiel.

En premier lieu, u, v^ z étant des quantités variables, on a

(l) A[u-j-v 2)=:A« + AC — Az,

c'est-à-dire que la différence dUine somme est égale à la sommée algébrique des d'Lfférences de ses parties. En ellet,

A (w -h p — z) = (/«, -h ('i — Zi) — [u -\- V — z)

=z [u^ — u) -\- [v, — v) — {z, — z) z=z Au -{- Av — Az.

La diiïérence d'une constante est nulle. Donc

{2) A(« -1- «)-— Au.

On a encore

(3) àau :=z a Au,

car Aau = au^ — au =z a [u^ — u) z=z a^u.