L'intégrale

a été déterminée par M. Poisson à l'aide d'un procédé très-remarquable. Si l'on change x Giij, on aura encore

e-fdy^ o et, par suile,

€-="'■ d.r I c-y-dj= I j C-^^'-'y'dxdy,

Soient maintenant trois axes rectangulaires Oj:, Oy. Oz'^ et

Fig. i(

Ut l'intégrale double

I/o Vc

les équations d'une courbe située dans le plan zOx.

Si cette courbe tourne autour de Taxe O^, elle enf-endrcra une surface ayant pour équation

c^^^y' dx dy

représentera le quart du volume compris entre la surface et le plan xOy. On peut évaluer ce volume en le partageant en une infinité de tranches cylindiiques dont Oz soit l'axe commun. La tranche termiuée aux surfaces qui

ont pour rayons /' et /

dr est égale à sa Lase 2.11 rdr

multipliée par sa hauteur z ou c

: on a donc

d'où

4-72. Un procédé analogue peut être employé pour îa délerminalion d'autres intégrales. Supposons que l'on ait à évaluer

o Jo

Celte intégrale représente la portion située dans l'angle des coordonnées positives du volume compris entre la surface qui a pour équation

et le plan xOy. Décomposons ce volume en éléments

infiniment petits au moyen des plans ^OS, ^OR menés par l'axe des z, et des cylindres PQ, RS ayant Oz pour axe -^ * commun. Si l'on pose 0P = 7'j VOx = 9, le prisme infiniment petit MPQRS ayant pour base le rectangle PQRS ^=: rdOdr. et pour hauteur

2=/(-^, j) =/(rcos0, /-sinô), aura pour volume

rclQdrf(rcosQ, rsinO).

L'intégrale proposée pourra donc être remplacée par la

suivante

foo />2 //(

rcosô, r sin (i)rclQdr^

dont la valeui- sera quelquefois plus facile à trouver