SUITE DE LA VARIATION D'UNE INTÉGRALE DÉFINIE. APPLICATIONS

Autre moyen d'obtenir la variation d'une intégrale définie. — Maximum et minimum d'une intégrale définie. — Conditions relatives aux limites. — Cas où la fonction V contient deux fonctions de x. — Ligne la plus courte entre deux points, — d'un point à une courbe, — entre deux courbes.

AUTRE MOYEN d'0BTEN£T\ LA VARlATtON d'uNE INTÉGRALE DÉFINIE.

770. Les calculs par lesquels nous venons d'évaluer la variation d'une intégrale définie peuvent être modifiés dans les applications.

On a^ précédemment (762), obtenu la formule

Après avoir remplacé dans V, qui est une fonction de x^j^

p et (7, ces deux dernières quantités par —, — ^j on

^ ^ dx dx

prendra la variation de y dx en considérant x, y^ dx^

dy dj^ d ~~ comme des fonctions du paramètre t. Le résultat

contiendra, sous forme linéaire, les variations Jx, ^/,

et ^dx^ àdy^. . . , ou les différentielles dàx^ d^j^

Comme on doit ensuite intégrer par rapport à x, on fera

sortir du signe i , au moyen de l'intégration par parties, les différentielles des variations i^x, ^j, de sorte qu'il ne restera sous le signe, que ces variations multipliées par des quantités qui en sont indépendantes. Le

résultat sera de la forme

II et K étant des fonctions connues de x, j et des dérivées de y^ mais ne contenant pas les variations de ces variables. En comparant ce résultat avec celui qu'on a trouvé plus haut (766)

on en conclura que F et K doivent être les mêmes dans les deux expressions, et qu'on a identiquement

771. Le calcul qui a donné l'équation (I) n'a servi qu'à mettre en évidence cette relation. Dans les applications, on suivra la marche qui nous a conduit à la relation (II), sans passer par l'intermédiaire de la quantité auxiliaire o), et sans recourir aux formules générales (766).

Si l'on ne faisait varier que y^ on aurait ^x ::= o et

Y' se déduisant de F, par la suppression des termes qui renferment (^x© et àx^-

Si Ton faisait varier x seulement, on aurait

Jx^ Jx^

— r"— f ^Kpdxdx,

Joe,

T" représentant ce que devient F quand on y fait dj^^^o^ 0>, = o.

772. Les mêmes remarques s'appliquent au cas où il entre dans la fonction V une autre fonction z àe x avec

les dérivées p' et q' de z. On arriverait à une équation telle que

Mais la marche suivie pour trouver la relation (II) donnerait encore

et ces valeurs doivent être identiques. Il faut donc que l'on ait

îl = -{Kp-hK'/).