L'équation oU = o revient à

il) ^~^ f ï^w^-^^o (766).

Je dis que cette équation entraîne les deux suivantes (2) r — o, KnzO.

Et d'abord la fonction K doit être nulle. En effet, supposons qu'il n'en soit pas ainsi. On peut, pour chaque valeur de X comprise entre Xq et Xi, clianger à volonté les valeurs de âx et de dy^ qui sont arbitraires, et conséquemment celle de w ou âj — p^x, en supposant constantes les valeurs de àx^, âj^^ âp^^ âxi^ (Jji, âpi, qui sont relatives aux limites Xq et Xi. Mais le terme F, qui ne contient que les variations relatives aux limites, resterait

constant, tandis que l'intégrale / Ka)<^x, contenant la

fonction arbitraire co, ne pourrait pas toujours conserver la même valeur quelle que fût cette fonction w, et par conséquent l'équation (i) ne pourrait pas être toujours satisfaite si K n'était pas zéro.

On peut d'ailleurs établir ce point de la manière suivante. Comme co est une fonction arbitraire, en la choisissant de manière qu'elle ait le même signe que K pour chaque valeur de x, si la quantité finie F est positive ou nulle 5 ou qu'elle soit de signe contraire à K, si F est

négative, la somme F-l~ / Kdidx serait positive dans

le premier cas, négative dans le second, au lieu d'être nulle. 11 faut donc qu'on ait R = o, d'où résulte aussi F=o.