CONDITIONS RELATIVES AUX LIMITES
775. Lorsque V ne contient que x, y, p et q, l'équation K = o 5 ou
est du quatrième ordre, puisque -— - contient ■— ou -j-^ •
Il faudra intégrer cette équation, et l'on aura un résultat
de la forme
contenant quatre constantes arbitraires. Pour les déterminer il faut avoir égard à l'équation (2) r = o,
relative aux limites de l'intégration . Mais il est nécessaire de distinguer plusieurs cas.
1° Si l'on donne les valeurs de x, j-, p, q aux deux limites, les variations de ces quantités étant nulles à ces limites, l'équation F r=: o est identiquement satisfaite, et si l'on représente par i' [x^ C, C, C, C'^^) la dérivée de f (a:, C, C, C^ C/^% on aura
y (S ^^=^ I (-^oj C, L , L , Cl ) ,
/..:::rf'(.r„C, c, C',C'"),
c'est-à-dire quatre équations qui déterminent les quatre constantes inconnues.
2° Si l'une des six quantités Xo, j^o? V^-> ^^^ /i ♦ P^ reste arbitraire, p-^ par exemple, l'équation F = o ne sera pas identiquement satisfaite; mais il faudra égaler à zéro le coefficient de ^px-, et l'on aura l'équation Qi = o, qui, avec les équations (3), déterminera les quatre constantes et la valeur de px»
3*^ Si l'on avait entre les valeurs de a:, j", p^ relatives aux limites, une équation
(4) ?(-^o, JoW^o, .«^1, /.,/?.) = 0,
on différentierait cette équation par rapport au paramètre t, et l'on aurait
d'S> ^ do ^ d'S> ^ dd) ^ do . do ^
dxo dfo djOf, dxi dji dpi
En portant la valeur de ^/^i, tirée de cette équation, dans l'équation F = o, il faudra égaler à o les coefficients de dVo, cJ/o5 ^/^0 5 ^Xx et ^j^. On aura donc cinq équations qui, réunies aux équations (3) et (4), détermineront les dix inconnues C, C, C^^, C'^^, Xq^ j^q, p^^ x^-, Ji, fi-
SOIXANTIÈME LEÇON. 2f)J
Ces exemples suffisent pour montrer comment on devrait opérer, si l'on avait deux ou un plus grand nombre d'équations relatives aux limites.
CAS ou LA FONCTION V CONTIENT DEUX FONCTIONS DE X.
776. Supposons maintenant que la fonction V contienne deux fonctions jy et z de la variable x. On aura alors (768)
(1) ^ / Ndx r=r r -h / (K« H- K'w') clv == O.
Celte équation équivaut aux suivantes
(2) r^o, K=:o, YJz=zO,
En effet, co et w' sont deux fonctions de x arbitraires et indépendantes l'une de l'autre, et F ne contient que les valeurs des variations relatives aux limites de T'ntégrale^ donc, si K et K' n'étaient pas nulles, en laissant constantes les valeurs relatives aux limites, on aurait F = o, tandis qu'on pourrait faire varier w et co' de telle sorte
(Kw -\- R'cû') dx ne fût pas égale à o.
On doit donc avoir
Kz=:o, IC=0,
et par conséquent
r=io.
Les deux premières équations déterminent j^ et z en fonction de X, La troisième sert à déterminer les constantes introduites par l'intégration des deux premières.
777. Nous avons supposé quejy et z étaient des fonctions indépendantes l'une de l'autre. S'il existait entre elles une relation
Ji) Y[x,y,z)^o,
les variations ^y et ^z ne seraient plus indépendantes.
On doit avoir, dans ce cas,
dF ^ dF , dF ,
-— ^x + -— d> -h —- ^2 = o, dx dj dz
équation que l'on obtient en différentiant l'équation (i) par rapport à t. Remplaçons à y et àz par leurs valeurs
il vient
ou
ou
dF dF dF A , dF dF ,
enfin
, . dF dF ,
car on trouve
d^ dF dF,
dx dy dz
en différentiant l'équation (i), par rapport à x. De l'équation (2) on déduit
dF
dz et, par conséquent,
«5 r \dx—T-+ I j K — K'
\ dz
Pour que cette variation soit nulle, il faut qu'on ait (3) r = o,
Les équations (i) et (4) feront connaître/ et z en fonc-
on a
lion de x. Quant à l'équation T = o, elle servira à déterminer les constantes.
