Soient

(1) jr^o[x),

les équations de deux courbes siiuées dans le même plan. En raisonnant comme dans le cas précédent, on trouve

que la ligne clierchée est encore

une ligne droite,

(3) jr=Cx-hC';

mais la détermination des constantes ne se fait plus de la même manière. Dans ce cas (Jo:©, ^y^i dxi. àji peuvent varier pourvu que le point k'[To-{-§Xo^jo-{-^yo) reste sur la courbe (i), et le point B' {xi -i- dx^^ji -h dy^) sur la courbe (2). Mais l'équation F rr: o (767) se réduit à

Pi

\/l-h/?i sji

qui se change, comme dans le cas précédent, en celle-ci :

(4) Bec, [i -I- Cf (x.)l — ^^o[l -H C^'(Xo)] =0,

à cause des équations

SOIXANTIÈME LEÇON. 3o3

Or, les variations ^Xq et dx^ étant indépendantes l'une de l'autre, l'équation (4) se partage en deux,

-f-Cf(.r.)r=:0,

^ ^ ( I +C^'(xo)— o,

qui, réunies aux suivantes,

déterminent complètement les constantes C et C, et les coordonnées x^, /q, -^iîJTi des extrémités de la droite minimum.

Les équations (5) font voir que la ligne la plus courte entre deux courbes planes est une normale commune aux deux courbes proposées.

EXERCICES