LIGNE LA PLUS COURTE D UN POINT A UNE COURBE PLANE
781. Soient A et BB' le point et la courbe donnés dans le plan xoj ; et
l'équation de la courbe.
Soit, de plus, AB la ligne la plus courte menée du point A à un point de la courbe donnée.
L'extrémité A de la ligne AB est fixe; l'autre extrémité peut varier de position sur la courbe BB'.
En conservant les notations du cas précédent, on arrive encore à l'équation (2) x=:C.T-{^C;
la ligne cherchée est donc une ligne droite.
II faut maintenant déterminer les constantes C et G'.
Or, on a
djCo = Oj Sxo= o, Q = o ,
mais les variations âxi et dji ne sont assujetties qu'à la seule condition que le point (x'i -{- dxi, ji -h âji) soit sur la courbe donnée. On a donc
d'où
ef,=:-^'{x,)§a:r,
et comme
^.r, -1- /?, Sji = o ,
on en conclut
ou
H-Cf(^.)=zO,
3o2 puisque
On déterminera ensuite les constantes au moyen des équations
jo = C^o + C, I H- C-i^'{x, ) == o,
Il résulte de Téquation (3) que la ligne la plus courte entre un point et une courbe est une droite normale à cette courbe.
Fig. i33.
