AUTRE MANIÈRE DE RÉSOUDRE LES PROBLÈMES PRÉCÉDENTS

783. Au lieu d'appliquer les formules générales, on peut opérer directement comme il a été expliqué n" 770. Dans les trois problèmes qui précèdent on doit avoir

x^ -\~ dy'^ z=i o ;

mais en posant ds =^ \Jdx^ -H dj^ , on a

et comme Tintégration par parties donne

rd.x ,^ dx ^ A clx

I — d5.x = — §x— I dxd J ds ds J

Téquation (i) prend la forme

/ 1 d.T ^ dy ^ \ ( d.T ^ dy

ds dy

ds'''^t'^)r^is'''-^Ts'^

.,„fii=..

Mais de l'identité

'dx\'- /dy\' Ts) '^X'ds

on tire

SOIXANTE ET UNIÈME LEÇON. 3o5

dx dx dy dy

ds ds ds ds '

dx dy dy dy

ds dx ds ds

Donc, pour que la quantité placée sous le signe d'in-

dx dl

dx tégration soit nulle, il suffit que l'on ait ^ — ^=::: o, ou

d — = 0. supposons

,dx

il en résulte

d'où

(4) j = cx-^a,

équation d'une ligne droite.

784. Déterminons maintenant les constantes d'après la nature du problème proposé.

1° Si les deux points (a.'o,j^o)î (^a Ji) sont donnés, les variations des limites i^Xo, ^Ja^ ^Xi, ^ji sont nulles, et l'équation F = o, ou

est satisfaite identiquement. Les constantes se déterminent, alors, par les équations

y, = C.ro -f C, y, = Cx, H- a.

2° Si le point A (xq, /o) est fixe, et que l'autre point B(Xi,yi) doive se trouver sur une courbe donnée,

Stuum. — An. fil. 20

3o5 COURS d'analyse.

on a

et Féquation F = o se réduit à

dxi §Xi -h dfi dyi ■= o,

d'où

rt.r, àXi

donc la droite (4) est normale à la courbe (5), car j^ =7zi^i^Xi) donne dji = ^'[x^) dxi, et, par suite, on a

Les constantes C, G' et les coordonnées du point extrême B sont déterminées par les équations

jo =r Cro -F- G', I + C^' (ar, ) — O ,

3° Enfin, si les deux points A et B doivent se trouver sur deux courbes données

(6) jr=cp(.r), x=-^(x),

on aura

ce qui donne

^Jo =^ f'{Xo)SXo.

L'équation F = o se réduit alors à et se partage en deux équations :

parce que dxa et àxi sont des quantités indépendantes, et arbitraires. Ces deux équations montrent que la droite cherchée est normale aux courbes données.

SOIXANTE ET L'NIÈME LEÇOJV. Soj

Les constantes C et C, les coordonnées Xo, jo5 "^i^ JKi des extrémités de la droite minimum sont déterminées par les six équations

C^o-f-C, Jo=cp(^o), i-f-C/(j:o) =0,

j. = Ca:. H-C,

I4-Cf (^,) r=o