LIGNE LA PLUS COURTE E3ÎTRE DEUX POINTS, DANS L ESPACE

785. Jusqu'à présent nous avons supposé que les lignes Fig. 134. considérées étaient situées dans

un plan donné. Cherchons maintenant quelle est, dans l'espace, la ligne la plus courte unissant deux points A et B.

Soient Xq^Yo, Zq les coordonnées du premier point, etXiyfi, Zi celles du second. La longueur de r arc AMB sera représentée par

PV-(i)'-(S)'-

Nous aurons donc

dSn

d'où

sydx =

dxdSx + dfd§x -h dzd8z

et par conséquent, en intégrant par parties :

df

Ts

ds

ds ds ds I

Il faut maintenant égaler à o l'expression placée sous le

3o3 COURS d'analyse.

signe I , et comme les variations dx, ^ r, àz sont indépendantes et arbitraires, on aura

(2 J— - — o, d~=zO, d~~=0,

^ ' ds ds ds

Mais, ces trois équations se réduisent à deux distinctes. En effet, de l'identité

dx^ dy^ dz^

ds^ ds^ ds^ on tire

dx dx dy dy dz dz

ds ds ds ds ds ds '

dx dy

donc si Ton a d-—=o, d~-=o, il en résultera

ds ds '

ds

Des

équations

'^ds = °'

on tire

!, par une

première intégration,

dz

ou, ce

qui revient au même,

rfr

et, en intégrant de nouveau,

(3) y=zcx-i-C, z=:c'x-\-0,

équations d'une ligne droite.

786. Pour déterminer les constantes c, C, c', C, il faut distinguer plusieurs cas.

1° Si les points A et B sont donnés, les variations

^jCo, ^J'ai ^Zq, dxi, ^j-j, dz^ sont nulles, et l'équation

SOIXANTE ET UNIÈME LEÇON. Sop

r = o est satisfaite. Les quatre constantes se déterminent en substituant les coordonnées des points A et B dans les équations de la droite.

2° Supposons que les points A et B doivent se trouver sur deux courbes IR, LN, ayant pour équations, la première :

(4) X=--?{^)^ z = ^(x), et la seconde :

l'équation r = o, formée au moyen de Téquation (i), donnera

(cix ^ dy ^ clz ^ \

dx ^ dr ^ dz ^ \

ds ds ds /n

En eflet, appelons ^Iq et àa^ les deux arcs infiniment petits AA' et BB', situés sur les courbes données; A'B' étant une courbe quelconque infiniment voisine de la droite AB, on pourra mettre F sous la forme

^ I dx Sx dy dy dz dz

\ ds §(7 ds S(T ds Sff

dx §x dy §f dz Sz

ds Sa ds Sa ds Sa

l(To

Les facteurs placés entre parenthèses ont des valeurs finies, car ils représentent les cosinus des angles que la droite AB fait avec les courbes aux points A et B. Comme, d'ailleurs, ^Gq et ^Œi sont des quantités indépendantes l'une de l'autre, on voit bien que l'équation F ==: o entraîne les suivantes :

dx Sx df Sj dz Sz\ Ih S^~^ d^ J^ ~^'dlS^),~~'^' dx Sx dy S y dz Sz\ __ ds Sa ds Sa ds Sa I a

et ces équations, quî sont au fond les mêmes que les équations (6), expriment que la droite AB est normale aux deux courbes.

A cause des équations (3) , on a

dy dz

dx dx

et, puisque les extrémités de la ligne AB doivent rester sur les courbes (4) f^t (5) , on aura

(ÎZo -^^'[x^)^Xq,

Les équations (6) peuvent donc se mettre sous la forme