EMPLOI DES IMAGINAIRES

476. En changeant x en x -^~ a dans l'équation (2), elle devient

ou

Mais on a

Xco

2«*^/.r = f«' v^TT.

donc

^-x* (e:«^| ^-^«^j clr — <,.«"- y^.

Les deux membres de cette équation peuvent être développés en séries convergentes, suivant les puissances entières et ascendantes de a, et comme l'équation a lieu pour toutes les valeurs réelles de a, les coefficients des

22 coms d'analyse.

mêmes puissances de a doivent être égaux dans les deux membres; d'où il suit que l'équation subsistera si Ton y remplace a par une expression imaginaire. En posant a n=: a y — i, d'où e'"'^ H- e"^''^ r= içosiolx, elle devient

Jfxi ^

e~-^*C0S2aJ7f/.r ■=. - e~~ ''* \tz.

Ainsi, le passage des cjuantités réelles aux imaginaires peut faire découvrir de nouvelles intégrales, conmie on l'a déjà fait remarquer au n'^ 466.

IISTÉGRALE OBTENUE A l'AIDE d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

477. Un autre procédé consiste à former, entre l'intégrale proposée et l'une des indéterminées qu'elle renferme, une équation différentielle qu'on puisse intégrer. Soit, par exemple,

On a

En intégrant par parties et en observant que sin 2a rc est nulle aux deux limites, on aura

du c'est-à-dire

/.ce ■ / 6'~^^C0S2ax.2ar/^,

du du

— =: — idu, ou — = — ict.doi.\

doc a

d'où

Pour déterminer C, on fait a = o : alors (47J

u = I e-^'dx z= - y/:r — C;

donc

f e"^" cos laxdx —z - e— *' t/TT..

EXERCICES