MÉTHODE DE M. CAUCHY. FORMULE FONDAMENTALE

478. Soient z une variable imaginaire, r son module et p son argument, en sorte qu'on ait

. z =: r[cosp -f- y/ — I sin/-?) = reP'^'^,

Sohf[z) une fonction de z qui reste finie et continue, ainsi que sa dérivée, pour toute valeur de z dont le module r est inférieur à une certaine limite R. Supposons, en outre, qu'en laissant le module constant et en faisant croître l'angle p d'une manière continue depuis une valeur quelconque a jusqu'à la valeur a -f- 2 77, la fonction reprenne, pour p = a -h 2t:, la valeur qu'elle avait pour p = Cf. Cette condition, que M. Caucliy omet dans ses énoncés, mais qu'il suppose dans ses démonstrations, n'est pas toujours remplie quand la fonction y (^) a plusieurs valeurs différentes pour une même valeur de z. On ne considère ici qu'une des valeurs de f[z) et la valeur correspondante de sa dérivée.

Cela posé, je dis quon a la formule

(I) /(o) = ~j^ n')dp'

TREISTE-NEUVIEME LEÇON. 2^

OU

/(o) = — j^ ArcPsl-^)dp,

pour tout module r moindre que R.

En effet, z étant une fonction de /' et de p, si Ton différentiey^(z), tour à tour par rapport à /' et à /?, on aura

et, par conséquent,

df{z) I rlf(z)

dr

rsj—i ^P

Comme,parliypotlièse,y (z) reste finie et continue pour toute valeur de z dont le module est moindre que R, la même propriété appartient aux deux membres de cette dernière équation. En les multipliant par dr.dp, et les intégrant par rapport à r depuis zéro jusqu'à /', et par rapport à p depuis tx jusqu'à a -f- 2 7r, on a

J^ Jo ^'' Jo r^/- I Ja '^P

or,

et puisque

dp V on a

dfiz)

r//.r=/[r/« + 27r)\/-i]y(^^avCr7j

dp Mais le second membre est nul par hypothèse; par con-

séqucnt

et

donc

ou

J^ «-t-27r /» a-i-^TT

./;.==./ f{z)dp,

ce J a.

ce qu'il fallait démontrer.

479. Si/'(^) (t\.f[z) restent finies et continues pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre r et /:>, en appelant ^ la valeur de z qui a o pour module, on aura

ainsi

la valeur de / f[^)^h^ ^^^ indépendante du

J ex.

module r, ce qu'on vérifie en différentiant cette intégrale par rapport à /' (4-01 ).