En remplaçant f[z) par i[x -h z) dans la for

TRENTE-WEUVir.ME LEÇON,

mule (I), on en déduit

(III) f(x)

/>a-l-27r — — / f(.r+rt'/'V-')r//7,

car on s. f [o) = i' (x) , Ainsi, une fonction ^x) d'une variable x, réelle ou imaginaire, peut être représentée par une intégrale définie, pourvu que f (.r 4- re^'^ ~0 reste * finie et continue, ainsi que sa dérivée, pour la valeur attribuée à r et pour toute valeur moindre, et que cette fonction reprenne la même valeur quand p augmente de 27r.

yépplications.

482. Les formules précédentes donnent les valeurs d'une classe nombreuse d'intégrales définies. Prenons d'abord

Cette fonction et sa dérivée deviennent infinies pour zz=.\^ valeur dont le module est /= i ^ mais elles sont finies et continues pour toute valeur moindre que i attribuée au module. On peut donc appliquer la formule (II) qui donne, pou^r r<^i^

d'où

Jo I

r — rrnsn 4- i/ — Trsinni

dp-,

o I — rcosp — sj — irsinp ^^ (i — rcos/7 4- \J — I rsinp

2 /ces/?

et, en séparant les parties réelles et les imaginaires, r»27r ^j — rcosp)clp

f^ I — 2 rcosp -+- n

s\n/) dp

i — 2. rcosp 4- r'

Cette dernière formule est d'ailleurs évidente, puisque les éléments de l'intégrale qui correspondent à des valeurs de p dont la somme est 2 7r sont égaux et de signes contraires.

483. On trouve directement la formule (i) en observant que la fonction peut être développée en une

série convergente quand le module de z est moindre que l'unité. En effet, dans ce cas,

1 — z d'où résulte la série convergente

r^^ dp r^"" r~ /*27r

Mais on a

dp z=. it:, o

et, d'ailleurs, pour tout exposant positif différent de zéro,

J^27r p'iTt

z" dp r= /-" / «?"/' V-' dp=zO) o J o

lit.

484. Faisons dans la formule [II] f [z) = e""'. Cette fonction, ainsi que sa dérivée, est finie et continue pour toute valeur de z, et n'a qu'une seule valeur. On a donc, quel que soit le module r,

j pni:

(3) l=z / ^arcos/j+vZ-iarsin/jJ^j^

'^'^ Jo

d'où l'on tire, en faisant ar= b et en séparant les quan-

titcs réelles d'avec les imaginaires,

/ c^^^'^Psin [bsinp) dp =z o.

48o. Soit encore

f{z)=\{l~z\ d'où /'(3)=r --!-.

La fonction et sa dérivée deviennent infinies pour la valeur z = i dont le module est i . Il faut donc, dans la formule (II), supposer /'<^i .D'ailleurs, en faisant croître /? d'une manière continue depuis une valeur quelconque a jusqu'à la valeur «4-27:, la fonction l(i — z) reprendra pour p = a H- 27: la valeur qu'elle avait pour p = a.

En eiïet, posons

I — zz= p(cos9 -f- \/ — I sin9) ;

p et 9 seront déterminés par les équations

pcosÔ=ri — rcospj psinOz^: — rsinp;

on en déduit

p = H- V I — 2.rcosp + r^,

I — rcosp . — rsinw

nos 9 := . ■> sm9r^

sji — irco'^p + r^ y'i — 1 rcosp -t- r^

On connaît donc cos0 et sin0 en fonction de p. Si l'on donne à p une première valeur arbitraire a, on a, par ces formules, des valeurs de cos0 et de sin0 auxquelles correspondent une infinité de valeurs de l'arc Q. Choisissons à volonté une de ces valeurs que nous désignerons par o. En faisant croître p d'une manière continue depuis a jusqu'à a -H 2 7r, les valeurs de cosO et de sin0 varieront par degrés insensibles, et reviendront, pour p :== a. -h 211:, égales à leurs valeurs initiales pour p = a. Par conséquent, l'arc Q variera aussi d'une manière continue à

3o COURS d'analyse.

partir de sa valeur initiale ê qui correspond h p = a, et quand p atteindra la limite supérieure a -h 27:, 6 sera revenu à sa valeur initiale 6, ou bien il en difFérera d'une ou de plusieurs circonférences.

Mais si l'on suppose 7' <^i5 je dis qu'on aura Ôz:=^6 pour p =: oc -r- 2 71 comme pour p .= a] car la formule

I — 7' ces»

cos G =

V' I — 2 rcosp -f- r^

fait voir que si l'on a /'<^i, cosô reste positif pour toutes les valeurs de p. Donc l'extrémité mobile de l'arc variable (5j mesuré à partir d'une origine fixe sur un cercle, se trouvera toujours dans le premier ou dans le quatrième quart de cercle, et puisque son sinus et son cosinus reprennent pour /? = a -h 2 7r leurs valeurs pour p = a, l'arc 9 lui-même reprendra pour ;:> = a H- 2 7r la valeur ê qu'on lui avait assignée pour p = a.

Ayant posé

I — z=:p(cos6 H- y/— 1 sine) =^e^^^\ on a

I(l-2)zr-:Ip-^-ôv/^,

et la formule (II) nous donne

équation qui revient aux suivantes : \

I I 1 (y/ 1 — 2 r cosp -r rA dp = o,

II — rsmp

f 1 arc tan £? dp z=zo.

l Jo i- rcosp

DÉVELOPrEMENT DES FONCTIONS.

486. M. Caucliy a fait servir la formule (I) au développement des fonctions en séries, et il en a déduit les con-

TREKTE-KEUVIÊME LEÇON. '6 i

ditions sous lesquelles ces développements sont convergents. Il est arrivé aiusi à ce théorème remarquable :

Une fonction F(x) d'une variable x, réelle ou imaginaire, peut être développée en série convergente suivant les puissances entières et j)ositives de .r, tant que le module de x est moindre que celui pour lequella fonction ou sa dérivée première devient infinie ou discontinue.

D'après ce théorème, pour la démonstration duquel nous renverrons aux ouvrages mômes de M. Cauchy, les fonctions

%mx, <?^*, c()s(i

et leurs dérivées premières, ne cessant jamais d'être finies et continues, seront toujours développabîes suivant les puissances ascendantes de x. Mais les fonctions

, _______ l(i — a:), arc tangx,

et leurs dérivées, cessant d'être continues quand le module de X devient égal à l'unité, ne seront développabîes que si ce module est moindre que l'unité. Les séries obtenues pourront devenir et deviendront en efl'et divergentes si le module de x surpasse l'unité.

Enfin les fonctions \x. e^, cos - devenant discontinues

avec leurs dérivées pour x =■ o, et par conséquent lorsque le module de x est le plus petit possible, elles ne seront jamais développabîes en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de x.

487. Les dérivées des fonctions que nous venons de nommer deviennent infinies et discontinues en même temps que ces fonctions. S'il en était toujours ainsi, on pourrait, dans l'énoncé du théorème général, omettre la condition relative à la dérivée première-, mais on n'a pas, à cet égard, une certitude suiiisante.