APPROXIMATION DES ARCS DE COURBE

7. Soient AB un arc convexe, 0 un point pris dans la concavité de cette courbe j rs l'angle des normales extrêmes, en désignant par P(,. Pj, p^, . , . , p^^j les rayons de courbure qui font avec la normale au point A les angles 0,-5 — 1 — ? • • • 5 on aura

' ^ ^ in 2/7 in

AB > t^T iPojJiPi±lH:>-+ip^

AB<t:rPi-±.P^±^:±-e£"-, n

si d'ailleurs -~^ est négatif pour les valeurs de w comprises entre G et rs.

Ces deux inégalités résultent de ce que / pr/w peut être considéré comme l'aire d'une courbe convexe dont p et w seraient les coordonnées rectangulaires.

8. Si 0 est le point de concours des normales extrêmes, et p^. Pi, p,. — , /?2,, les perpendiculaires abaissées sur les côtés d'un polygone équiangle circonscjit à la courbe AB, on aura

AB --- lim . ift + A+/>.+--. + iA,

pour /z = c3 ,

AB - lim u Z^'+A-^ "-'-^Pjn-x po„r ,3 ^ ^

^-A-t-AH--

LOTE V. 3^9

9. Soit CD «/z^ droite partn^^ée au point E ^/? deux segments, CE = <7, CD = b. Si Von partage en i n parties égales la demicirconférence décrite sur CD comme diamètre et que Pan désigne par Po^Pt , . . . , p^„ les droites menées du point E aujn divers points de division, le périmètre de P ellipse ayant ia et ib pour axes sera compris entre deux circonférences ayant pour rayons : la première

et la seconde

Le théorème aurait encore lieu si le point E était pris sur le prolongement de CD et que l'on eût encore EC = a, ED = b.

10. La moyenne des distances d'un point pris dans le plan d\in cercle, aux sommets d\in polygone régulier d'une infinité de côtés inscrits dans le cercle, est égale au périmètre cPune ellipse ayant pour demi-axes la plus grande et la plus courte distance du point a la circonférence, divisé par 'itc. — Cas où le point est pris sur la circonférence.

Conséquence de (9).

\\, Le périmètre d'une ellipse ayant pour axes ia et Q.b, a1> b, étant désigné par E, on a

a-hb

y/art

a-^b-\-\/ia-+'

'ib'

-\-b^-\-\\/ia^-\-iia

Conséquence de (9).