TRANSFORMATION DES ARCS DE COURBE

42. Si AB et A'B' sont deux droites parallèles, et«, b^ des points pris sur les droites AA', BB', de telle sorte que

ka B/> m k^'' Yb ~ Ti'

, /zAB±/;/A'B'

ab = ■

On prendra le signe --h si les droites AB, A'B' sont dirigées dans le môme sens, et le signe — dans le cas contraire.

38o COURS d'awalyse.

J3. Si plusieurs polygones ABCD. . . , A'B'C'D'. . . , A"B"C"D''. . . , ont leurs côtés respectivement parallèles y si a est le centime de gravité des sommets homologues A, A', A", . . .; b celui des sommets B, B', B", . . . , et ainsi de suite y le polygone abcd. . . aura ses côtés parallèles à ceux des premiers polygones, et son périmètre sera égal à la moyenne arithmétique des périmètres des polygones proposés.

Se démontrera d'abord pour deux polygones, puis pour trois, et ainsi de suite, au moyen du théorème 12,

14. Soient C, C, C",... plusieurs courbes, A, A', A",... des points appartenant respectivement à ces courbes et tels, que les tangentes en cespomts soient parallèles. Soit/? le centre de gravité des points A, A', A", . . . considérés comme des points matériels de poids égaux. Si les points A, A',. • • ^^ meuvent sur leurs courbes respectives en remplissant toujorns les conditions précédentes, Varc de courbe décrit par le point a sera égal à la moyenne arithmétique des arcs décrits par les points A, A', ... , en prenant avec le même signe les arcs décrits dans le même sens.

15. Etant donné un arc AB, le transformer en un arc d'espèce différente et de même longueur.

Soient OA et OB les normales menées aux extrémités de l'arc AB. Soit A'B' ce que devient AB quand en fait tourner la figure autour de la bissectrice OC de l'angle AOB. En appliquant le théorème 14, on aura une courbe ab égale à la demi-som.me des arcs AB et A'B', et par conséquent égale à chacun de ces arcs.

La courbe ab est symétrique par. rapport à OC. En doublant les dimensions d'une de ses moitiés sans changer sa forme, on aura une courbe a'c' de même longueur que AB, mais dont les normales extrêmes feront un angle égal à la moitié de l'angle AOB.

En opérant sur a'c' comme sur AB et répétant indéfiniment cette suite d'opérations, on transformera l'arc primitif en arcs de même longueur dont les normales extrêmes feront un angle- de plus en plus petit et qui, par conséquent, difTéreront de moins en moins d'une ligne droite.

16. Dans la transformation précédente, on a changé un arc AB en un autre arc de même ouverture ou d'une ouverture moitié moindre, c'est-à-dire dans lequel les normales extrêmes faisaient le même angle ou un angle moitié moindre. Soit tz l'ouverture d'un certain arc AB, posons /? = /(&>) : on a

NOTE V. v>Ol

On aurait encore

c r''[/(aw)+/"(aw)]./w.

Soit/?, =/,(f^) l'équation de la podaire d'une certaine courbe dont l'arc serait représenté par la formule précédente : on doit avoir

La fonction/, est donc donnée par une équation différentielle linéairo du second ordre, en général difficile à intégrer.

COURBES RECTIFIABLES.