Emploi des imaginaires

Jo En posant a = ay/— i,

Jo

Ail. LXTÉGRALE OBTENUE A l'aIDE d'oNE ÉQUATION DIFFEREN- TIELLE.

SUITE DES INTÉGRALES DÉFINIES. — INTÉGRALES EULÊRIENNES. 478. MÉTHODE DE GaUCHY. — FORMULE FONDAMENTALE. — SoiCRt

z une variable imaginaire, /-son module et p son argument, en sorte qu'on ait

z = r (cosp + y/— I sinp) = re^^-^ .

Soit/(z) une fonction de z qui reste finie et continue, ainsi que sa dérivée, pour toute valeur de z dont le module r est inférieur à une certaine limite R. Supposons, en outre, qu'en laissant le module constant et en faisant croître l'angle /;> d'une manière continue depuis une valeur quelconque a jusqu'à la valeur a + avr, la fonction reprenne, pour /? = a 4- 2 77, la valeur qu'elle avait pour p =-. a.. On a la for i mile

pour tout module r moindre que R.

£a -H 27r f{z)dp est indépendante du mo-

du le r.

DES MATIÈRES. 3q3

(Il)

(IIÏ) f[x) = -1- T"^ ^""{(.r -^ re"^-) dp,

482 à 48Î5. Applications des formules précédentes.

486 et 487. Développement des fonctions. — Une fonction F [x) d'une variable x, réelle ou imaginaire, peut être développée en série convergente suivant les puissances entières et positives de œ, tant que le module de x est moindre que celui pour lequel la fonction ou sa dérivée première devient infinie ou discontinue.

488. Des intégrales eulériennes. — Définition. — Propriétés de l'intégrale de première espèce. — On nomme intégrale eulérienne de première espèce et l'on représente par B(/?, 7) l'intégrale

dans laquelle p et q désignent des nombres positifs. L'intégrale précédente aurait une valeur infinie si /p ou 7 était négatif.

489. L'intégrale de première espèce peut se mettre sous l'une des deux formes

/'co yP-^dy r^'

/ ii~~r\V~^> ^ sin^^-'ôcos^î-'ôc/e.

492. Relations entre les intégrales de première et de seconde espèce.

f\p~^ (« a)"-^ du = «ph;-. L[p}I1Û .

494 et 495. Intégrales multiples qui s'expriment a l'aide des

FONCTIONS r.

496 et 497. Applications a la recherche des volumes et des centres de gravité.

QUARANTIEME LEÇON.

intégration des différentielles totales et des équations différentielles.

498. Condition d'intégrabilité des fonctions de deux variables. — Intégrer une expression différentielle de la forme Mdx -\- Ndf, c'est chercher une fonction de .r, j, dont cette expression soit la différentielle totale.

Si l'on désigne par Mdx -h Nr(r la différentielle totale d'une fonction u, on aura

^M dN dy dx

L'expression M <^ar -f- N 4r ne pourra être intégrée si celte relation n'a pas lieu.

499. Si cette condition est remplie, on aura, en posant v =fUdx^

11= \ M.dx-\- i ( N -- ^J f^.