Extension au cas de plusieurs variables. — - Soit
M dx 4- N «-/j + P dz = du :
on aura
dU d}^ dm d? cm (l?
dy dx ' dz dx dz dy
conditions nécessaires pour que la formule proposée soit intégratle»
501. Réciproquement, si ces conditions sont remplies, la formule proposée est inlégrable.
En posant v = JMdx^ et <p étant une fonction de /et de z tellô, que
on aura
DES MATIÈHES. ^C)^^
E02. En Général -~''~-~ ' est le nombre des conditions néces-
saires et suffisantes pour l'intégrabilité d'une formule, n étant le nombre des variables.
503. Équations différentielles. — Définitions. — On nomme équation différentielle du n'"'"" ordre wxiQ relation entre une variable, une fonction de cette variable et les dérivées ou différentielles de divers ordres de cette fonction jusqu'au z?''^^""' ordre inclusivement.
504 et 505. Intégration des équations du premier ordre. — SÉPARATION des VARIABLES. — L'intégration s'effectue immédiatement quand il est possible de mettre l'équation sous la forme
^[x)dx = -^[x)df; on aura
Jr^[x)dx=J-^[r]dy + C,
506 et 507, Équations homogènes. — L'équation mix-^'^dr-^ O
est homogène quand M etN sont des fonctions homogènes et du même degré des variables x et/. On a, dans ce cas, tn étant le degré do
l'homogénéité,
L'intégrale est
508 à 510. ÉQUATIONS que l'on peut rendre homogènes.
l^ul^4h}l^=.C.
SUITE de l'intégration DES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE.
511 et 512. Équations linéaires.
dx
j = e-S'^' ( Tq d?-^"^^ dx -h C )
513 et 514. Équations QUI SE ramènent aux équations linéaires.
Si l'on pose --^^ = z, on aura Péquation linéaire dz et
?)15. On peut obtenir l'intégrale générale de l'équation
quand on en connaît une intégrale particulière.
516. Problème de de Beaune. — IVouver une courbe telle, que la sous-tangente soit à V ordonnée comme une ligne constante est à la différence entre l'ordonnée et r abscisse.
L'équation différentielle de la courbe est
dy Y — X dx ~ a
On trouve pour son intégrale
517 et 518. Problème des trajectoires. — Trouver une courbe qui coupe sous un angle donné toutes les courbes renfermées dans V équation
(i) Y[x,x,a) = Oy
a étant un paramètre variable.
, \ /^F dV dy\
dx dy dx
L'élimination de a entre les équations (i) et (2) donnera l'équation différentielle du lieu.
519. Quand l'angle donné est droit, les trajectoires sont dites
orthogonales, et l'équation différentielle résulte de l'élimination de a
entre les deux équations
F(x,j,«)=ro, --^dy--^dx^o.
des matières. 897
520. Équation du premier ordre et d'un degré quelconque. ■ Cas ou l'équation ne contient pas explicitement x et y. —
Soit, en posant ~- — p
S'il est possible de résoudre cette équation par rapport à y- > on
aura une ou plusieurs équations du premier degré que l'on tâchera d'intéffrer.
