MEMBRE

(II) ';^r-^-p;4--^^-Qzi-^+•••+'^i■-"^=<'•

6"/ des fonctions particulières y\^ Iivi fn saùisfont à cette écjuation, la somme de ces fonctions, et même la somme des produits de ces fonctions par des constantes quelconcfies <?,, c.^^...^ .-■^^, y satisfera également,

o80. Si Von connaît m solutions particulières de l'équation (II), on aura l'intégrale générale en posant

y = ^'. J. + ^2 J. +• • •+ ^'mX.'

pourvu que Von puisse déterminer les constantes de manière a don-

dv d'''"^ Y

ner à y -- 5 • • • j —, — ^ iiss valeurs arbitraires pour une valeur •^' dx dx"'"^

quelconque de x.

581. L'équation linéaire, en posant j:^ e^'-"^^^ prend la forme

(III) -^^^r +. . .+ («'■' -h P«'"-' -r- Q «'•"-= -h . . .+ U

Quand une valeur a = r, indépendante de x, annule le polynôme

u'" -h P «'"-' H- Qm"'-- + . . . -h U = /(w)

l'équation (II) est satisfaite par jr = ce'''.

582. Équations linéaires a coefficients constants. — L'équation/(w) = o n'admet que des racines constantes /',, r,, . . ., r^„. En les supposant toutes différentes, l'intégrale générale sera

583 et 584. Cas des racines imaginaires inégales. — Lorsque l'équaticn

DES MA.TIÈRES. /lO'ô

a des racines imaginaires,

on a

c, ^'■l'^-f- c^c^'-i' = (Acosê.r 4- Bsinê^)*""^^'.

585 à 591. Cas des racines égales. — Lorsque l'équation j,.7i | p^,«-. | Qrm-2 | ^ Xr -1- U = G

a des racines égales, supposons 7\ = /-,, on aura

Quand trois racines sont égales,

Si la racine r, était quadruple, il faudrait remplacer les termes qui s'y rapportent par

intégration de l'équation linéaire complète.

592. RÉDUCTION DE l'équation complète a l'équation privée de second membre. — Soit

Posons

z étant une fonction de jr et de a tellement choisie, que z, — ;

-j-^ > • • • 5 1.^-2 soient nulles pour a = j:, et que 1 on ait pour cette même valeur

4o6 TABLE ANALYTIQUE

En posant j = u-\-q^ l'équation (I) se réduit à

( n ) t4 H- P l^irr H- . . . 4- T - -1- U . = o .

^ ' dx'" rfx"' ' dx

Et, si l'on peut intégrer généralement cette équation, u-\-v sera l'intégrale de l'équation (I).

593. Cas ou les coefficients de l'équation (II) sont constants. — En désignant par /•,, r,, /-j, . . , r„, les racines de l'équation

/( r] = r" 4- P/""-' -i- . . . 4- Tr + U = G, on aura

''■'^U, 4- rV'-.«F(a)r/a

594 à 600. Cas ou l'on connaît un certain nombre d'intégrales DE l'équation privée DU SECOND MEMBRE. — Si V on connaît n intégrales distinctes de l'équation linéaire privée de second membre^ on pourra ramener l'équation complète à une équation linéaire du [m — nY""' ordre.

On pourra donc abaisser l'ordre de l'équation (ï) d'autant d'unilés qu'on connaîtra de solutions particulières de l'équation (II), et l'intégrale générale de l'équation (I) sera de la forme

\ étant une solution quelconque de l'équation (I). L'équation linéaire n'admet pas de solution singulière.

601 à 607. De quelques cas ou l'on peut intégrer l'équation