Soit

M dx -h N dy -{-Vdz^^du,

c'est-à-dire

du ,, du ^^ du ^

dx dy dz

on aura

, du du ,du du du , du

d— d-j- cl—- d— d— d—-

dx dy dx dz dy dz

dy dx dz dx dz dy

quahantieme leçon. 41

ou bien

(U) dM d^ dM dP r/N^P

dy d.T dz de dz df

Telles sont les conditions nécessaires pour que la formule proposée soit inlégrable.

501. Réciproquement, si ces conditions sont remplies, la formule proposée est intégrable. En effet, cherchons une fonction u telle que

(l) du = Udx^l!{dx -\-'9dz.

Puisque la différentielle de w, par rapport à x, doit être Mclx, on aura

uz= Mdx 4- çp {y, z) = p H- ç ( j, 3),

en posant i^ == I Mdx.

Maintenant il faudra que l'on ait

c'est-à-dire

du du

dv dm ^, dv d(D df df dz dz

ou bien

df df dz dz

Or, -^ et -^ ne doivent contenir que y et z, par hypothèse 5 donc on aura

n^-ij

dx -"■

dx

ou

dx ~ d/ '

dP dM d.v dz

En ouire, la fojîclion cp doit satisfaire à la condition