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INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES ET DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
Condition d'intégrabilité et intégration dans le cas de deux variables. — Extension au cas d'un nombre quelconque de variables. — Équations différentielles. — Définitions. — Équations du premier ordre. — Séparation des variables. — Équations homogènes. — Équations rendues homogènes.
COJSDITION d'iNTÉGRABÏLTTÉ DES FONCTIONS DE DEUX YAKIABLES.
498. Intégrer une expression différentielle de la forme Mrix -f- iSdj H- Vdz. . - , c'est chercher une fonction de oc, y, z...^ dont celte expression soit la différentielle totale.
Une différentielle relative à une seule variable a toujours une intégrale (I, 320)^ il n'en est pas toujours ainsi d'une fonction différentielle de plusieurs variables, et certaines conditions doivent être remplies pour qu'une telle expression soit la différentielle totale d'une fonction. En effet, si u=f[x^j), on a
du ■=-- -— dx dx
du
dy.
et
dx
dy
dj
dx '
donc,
. si Mdx
IScIf représente ]
la différ
entielle
totale
delà
fonction
on aura M = -— )
Nr=
du
ly
et
dM __ dv
QUAHAKTIEME LEÇON. Sp
î/expressîon Mdx -f- Nr/y ne pourra donc être intégrée si cette relation n'a pas lieu.
499. Si la condition (I) est remplie, Mrlx-h^ rfy sera la différentielle totale d'une fonction ii. En d'autres termes, il existera une fonction u telle que l'on ait
d.T dy
En effets cherchons une fonction u telle que l'on ail
(i) da = Md.x -\~ Nf/r.
La fonction cherchée, devant avoir Mrîx pour différentielle par rapport à x, sera égale à l'intégrale de Mdv augmentée d'une quantité tp [y) indépendante de x, mais fonction de j; u sera donc de la forme
. , dn
manière que — -
Mdx -ir 'f(j) =<J
en posant (
^=r.ÇMdx,
Il reste à
[ déterm
iner ^(j) de i
Or, on a
du dv d(sf dy dy dy
d'où
dy dy
On voit par là que N — — ne doit pas contenir x\
On aura donc
ou
dv dv
dx dx dy -::- dy
4o COURS d'analyse.
On retrouve ainsi la condition
dx dy
Si cette condition est remplie, on aura
et, par suite,
(2) 11= Çudx -4- r ^N — ^^ dy.
Exemple :
du On a :
ri__i^i,..+ r!:^ i],,,.
dW iY.r dis
df {'■^■—Jf dx'' 11= lMdx-\-^{y)=]x^-^ h<?(j);
du dv d'if 1 .Tj — y"^ d(^ jr* i
dy~~ dy dy~~ [x—yf dy~ {x—yf j'
^r=l--, ç,::=j lj+C;
xy , •'^ ^
